Exercise 3.8: Amplification and Limitation

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Wir betrachtenein Zufallssignal $x(t)$ mit symmetrischer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$$f_x(x)=A\cdot \rm e^{\rm -2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}|\it x|}.$$

Dieses Signal wird an den Eingang einer Nichtlinearität mit der Kennlinie (siehe unteres Bild) angelegt: $$y=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}0 &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} \it x <\rm 0, \\\rm2\it x & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} \rm 0\le \it x\le \rm 0.5, \\1 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}\it x > \rm 0.5\\\end{array}\right.$$

Das Ausgangssignal wird mit $y(t)$ bezeichnet.

Diese unten skizzierte Kennlinie begrenzt die Größe $x(t)$ am Eingang asymmetrisch und verstärkt sie im linearen Bereich.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Exponentialverteilte Zufallsgröße.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
• Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:

$$\int_{0}^{\infty}\it x^n\cdot\rm e^{-\it a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x}\, d{\it x} =\frac{\it n{\rm !}}{\it a^{n}}.$$

Fragebogen

1

Berechnen Sie den Funktionswert $A= f_x(0)$ der WDF an der Stelle $x = 0$.

$A \ =$

2

Berechnen Sie die Momente $m_k$ der Zufallsgröße $x$. Begründen Sie, dass alle Momente mit ungeradem Index null sind. Wie groß ist die Streuung?

$\sigma_x \ =$

3

Welcher Wert ergibt sich für die Kurtosis der Zufallsgröße $x$?

$K_x \ =$

4

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ den Wert $0.5$ überschreitet?

${\rm Pr}(x > 0.5) \ =$

5

Welche der folgenden Aussagen sind bezüglich der WDF $f_y(y)$ zutreffend?

	Die WDF beinhaltet eine Diracfunktion bei $y = 0$.
	Die WDF beinhaltet eine Diracfunktion bei $y = 0.5$.
	Die WDF beinhaltet eine Diracfunktion bei $y = 1$.

6

Wie lautet der kontinuierliche Anteil der WDF $f_y(y)$? Welcher Wert ergibt sich für $y = 0.5$?

$f_y(y = 0.5) \ =$

7

Wie groß ist der Mittelwert der begrenzten und verstärkten Zufallsgröße $y$?

$m_y \ =$

Musterlösung

Solution

(1)  Die Fläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ergibt $$\it F=\rm 2\cdot \it A\int_{\rm 0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}\rm e^{\rm -2\it x}\, \rm d \it x=\frac{\rm 2\cdot \it A}{\rm -2}\cdot \rm e^{\rm -2\it x}\Big|_{\rm 0}^{\infty}=\it A.$$

Da diese Fläche definitionsgemäß gleich $F = 1$ sein muss, gilt $\underline{A = 1}$.

(2)  Alle Momente mit ungeradem Index $k$ sind aufgrund der symmetrischen WDF gleich Null. Bei geradem $k$ kann der linke Teil der WDF in den rechten gespiegelt werden und man erhält: $$\it m_k=\rm 2 \cdot \int_{\rm 0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}\it x^{k}\cdot \rm e^{-\rm 2\it x}\,\rm d \it x=\frac{\rm 2\cdot\rm\Gamma(\it k{\rm +}\rm 1)}{\rm 2^{\it k{\rm +}\rm 1}}=\frac{\it k{\rm !}}{\rm 2^{\it k}}.$$

Daraus folgt mit $k = 2$ unter Berücksichtigung des Mittelwertes $m_1 = 0$: $$m_{\rm 2}=\frac{\rm 2!}{\rm 2^2}={\rm 0.5\hspace{0.5cm}bzw.\hspace{0,5cm} }\sigma_x=\sqrt{ m_{\rm 2}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.707}.$$

(3)  Das Zentralmoment vierter Ordnung ist $\mu_4 = m_4 = 4!/2^4 = 1.5$. Daraus folgt für die Kurtosis:

$$K_{x}=\frac{ \mu_{\rm 4}}{ \sigma_{\it x}^{4}}=\frac{1.5}{0.25}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 6}.$$

(4)  Mit dem Ergebnis aus (1) erhält man: $${\rm Pr}( x> 0.5)=\int_{0.5}^{\infty}{\rm e}^{- 2 x}\,{\rm d}t x=\frac{\rm 1}{\rm 2\rm e}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.184}.$$

(5)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

• Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet eine Diracfunktion an der Stelle $y= 0$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x < 0) = 0.5$.
• Zudem eine weitere Diracfunktion bei $y= 1$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x > 0.5) = 0.184$.

(6)  Der Signalbereich $0 \le x \le 0.5$ wird am Ausgang auf den Bereich $0 \le y \le 1$ linear abgebildet. Die Ableitung der Kennlinie ist hier konstant gleich $2$ (Verstärkung). Daraus erhält man: $$f_y(y)=\frac{f_x(x)}{|g'(x)|}\Bigg|_{x=h(y)}=\frac{\rm e^{-\rm 2\it x}}{\rm 2}\Bigg|_{\it x={\it y}/{\rm 2}}=0.5 \cdot {\rm e^{\it -y}} .$$

Bei $y= 0.5$ beträgt dementsprechend der kontinuierliche WDF-Anteil $f_y(y = 0.5)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.304}$.

(7)  Für den Mittelwert der Zufallsgröße $y$ gilt: $$m_y=\frac{1}{\rm 2\rm e} \cdot 1 +\int_{\rm 0}^{\rm 1}\frac{\it y}{\rm 2}\cdot \rm e^{\it -y}\, \rm d \it y=\frac{\rm 1}{\rm 2\rm e}{\rm +}\frac{\rm 1}{\rm 2}-\frac{\rm 1}{\rm e}=\frac{\rm 1}{\rm 2}-\frac{\rm 1}{\rm 2 e}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.316}.$$

Der erste Term stammt vom Dirac bei $y= 1$, der zweite vom kontinuierlichen WDF–Anteil.