Exercise 2.4: Frequency and Phase Offset
Betrachtet wird das Quellensignal $q(t) = A_{\rm 1} \cdot \cos(2 \pi f_{\rm 1} t ) +A_{\rm 2} \cdot \sin(2 \pi f_{\rm 2} t )$ mit den Signalparametern
- $$ A_1 = 2\,{\rm V}, \hspace{0.15cm}f_1 = 2\,{\rm kHz} \hspace{0.05cm},$$
- $$A_2 = 1\,{\rm V}, \hspace{0.15cm}f_2 = 5\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$
Dieses Signal wird ZSB–amplitudenmoduliert.
Das modulierte Signal $s(t)$ besitzt somit Spektralanteile bei $±45$ kHz, $±48$ kHz, $±52$ kHz und $±55$ kHz. Bekannt ist weiter, dass das sendeseitige Trägersignal sinusförmig ist ($ϕ_{\rm T} = -90^\circ$).
Die Demodulation soll mit der skizzierter Schaltung erfolgen, die durch folgende Parameter bestimmt ist:
- Amplitude $A_{\rm E}$ (ohne Einheit),
- Frequenz $f_{\rm E}$,
- Phase $ϕ_{\rm E}$.
Der Block $H_E(f)$ beschreibt einen idealen, rechteckförmigen Tiefpass, der geeignet dimensioniert ist.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Synchrondemodulation.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten Einfluss eines Frequenzversatzes und Einfluss eines Phasenversatzes.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
- Berücksichtigen Sie die folgenden trigonometrischen Umformungen:
- $$\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm},$$
- $$\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta) = {1}/{2} \cdot \left[ \sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm},$$
- $$\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) = {1}/{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\right] \hspace{0.05cm}.$$
Fragebogen
Musterlösung
- Bei ZSB–AM ohne Träger bzw. mit einem Modulationsgrad $m > 1$ ist Hüllkurvendemodulation nicht anwendbar.
- Die Leistungsfähigkeit des Synchrondemodulators wird durch den zusätzlichen Trägeranteil nicht gesteigert, sondern führt lediglich zu einer unnötigen Vergrößerung der aufzubringenden Sendeleistung.
- Auch die dritte Aussage ist richtig. In der Musterlösung zur Aufgabe 2.4Z wird gezeigt, welche Auswirkungen ein Verzicht bzw. eine falsche Dimensionierung von $H_{\rm E} (f)$ hat.
(2) Wie der Name „Synchrondemodulator” bereits impliziert, müssen die Signale $z(t)$ und $z_{\rm E} (t)$ frequenz– und phasensynchron sein:
- $$f_{\rm E} = f_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 50\,{\rm kHz}}, \hspace{0.15cm}\phi_{\rm E} = \phi_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= - 90^{\circ}} \hspace{0.05cm}.$$
Die Trägerfrequenz $f_{\rm T} $ am Sender kann aus den Angaben über das Sendespektrum $S(f)$ ermittelt werden. Bei vollständiger Synchronität gilt:
- $$v(t) = {A_{\rm E}}/{2} \cdot q(t) + {A_{\rm E}}/{2} \cdot q(t)\cdot \cos(2 \cdot \omega_{\rm T} \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
Der zweite Term wird durch den Tiefpass entfernt. Mit $A_{\rm E}\hspace{0.15cm}\underline{ = 2}$ gilt somit $v(t) = q(t)$.
(3) Im Theorieteil wurde gezeigt, dass bei ZSB–AM und Synchrondemodulation allgemein gilt:
- $$v(t) = \cos(\Delta \phi_{\rm T}) \cdot q(t) \hspace{0.05cm}.$$
Auch bei ungenügender Phasensynchronisation kommt es nicht zu Verzerrungen, sondern nur zu einer frequenzunabhängigen Dämpfung. Mit $ϕ_{\rm T} =-90^\circ$ und $ϕ_{\rm T} = –120^\circ$ ist $Δϕ_{\rm T} = -30^\circ$ und man erhält:
- $$ v(t) = \cos(30^{\circ}) \cdot q(t)= 0.866 \cdot q(t) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} v(t= 0) = 0.866 \cdot A_1 \hspace{0.15cm}\underline {= 1.732\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Nun beträgt die Phasendifferenz $Δϕ_{\rm T} = 90^\circ$ und man erhält $v(t) \equiv 0$. Es ist müßig darüber zu diskutieren, ob es sich hierbei noch immer um ein verzerrungsfreies System handelt.
Das Ergebnis $υ(t) \equiv 0$ ist darauf zurückzuführen, dass Cosinus und Sinus orthogonale Funktionen sind. Dieses Prinzip wird zum Beispiel bei der so genannten Quadratur–Amplitudenmodulation ausgenutzt.
(5) Hier lautet nun die Gleichung für das Signal nach der Multiplikation:
- $$b(t) = q(t) \cdot \cos(\omega_{\rm T} \cdot t - 90^{\circ}) \cdot 2 \cdot \cos(\omega_{\rm E} \cdot t - 90^{\circ})= 2 \cdot q(t) \cdot \sin(\omega_{\rm T} \cdot t ) \cdot \sin(\omega_{\rm E} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$
Dieses Ergebnis kann mit der trigonometrischen Umformung
- $$\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta) = {1}/{2} \cdot \left[ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\right]$$
auch wie folgt geschrieben werden:
- $$ b(t) = q(t) \cdot \cos((\omega_{\rm T} - \omega_{\rm E}) \cdot t ) + q(t) \cdot \cos((\omega_{\rm T} + \omega_{\rm E}) \cdot t ) \hspace{0.05cm}.$$
Der zweite Term liegt für $f_{\rm E} ≈ f_{\rm T}$ in der Umgebung von $2f_{\rm T}$ und wird durch den Tiefpass entfernt. Somit bleibt mit der Frequenzdifferenz $Δ\hspace{-0.05cm}f_{\rm T} = f_{\rm E} - f_{\rm T}= 1$ kHz:
- $$ v(t) = q(t) \cdot \cos(2 \pi \cdot \Delta \hspace{-0.05cm}f_{\rm T} \cdot t) \hspace{0.05cm}.$$
- Die erste Aussage ist somit richtig. Diese besagt, dass nun das Nachrichtensignal $v(t)$ nach der Demodulation gemäß einer Cosinusfunktion leiser und wieder lauter wird („Schwebung”).
- Aus dem Cosinusanteil von $q(t)$ mit der Frequenz $f_1 = 2$ kHz werden nun zwei Anteile (jeweils halber Amplitude) bei $1$ kHz und $3$ kHz.
- Ebenso ist im Sinkensignal kein Anteil bei $f_2 = 5$ kHz enthalten, sondern lediglich Anteile bei $4$ kHz und bei $6$ kHz:
- $$1\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t)\cdot \cos(2 \pi \cdot 1\,{\rm kHz} \cdot t) = 0.5\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 4\,{\rm kHz} \cdot t) + 0.5\,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 6\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
Richtig sind somit die Aussagen 1, 3 und 4.
