Exercise 1.16: Block Error Probability Bounds for AWGN
Wir gehen von der folgenden Konstellation aus:
- ein linearer Blockcode mit Coderate $R = k/n$ und Distanzspektrum $\{W_i\}, \ i = 1, \ \text{...} \ , n$,
- ein AWGN–Kanal, gekennzeichnet durch „$E_{\rm B}/N_{0}$” ⇒ umrechenbar in die Rauschleistung $\sigma^2$,
- ein Empfänger, basierend auf Soft Decision sowie dem Maximum–Likelihood–Kriterium.
Unter der für die gesamte Aufgabe gültigen Annahme, dass stets das Nullwort $\underline{x}_{1} = (0, 0, \text{...} \ , 0)$ gesendet wird, gilt für die „paarweise Fehlerwahrscheinlichkeit” mit einem anderen Codewort $\underline{x}_{l} (l = 2,\ \text{...} \ , 2^k):$
- $$ {\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = {\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
Die Herleitung dieser Beziehung finden Sie in [Liv10]. In dieser Gleichung wurden verwendet:
- die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$,
- das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{l})$ des Codewortes $\underline{x}_{l}$,
- die AWGN–Rauschleistung $\sigma^2 = (2 · R · E_{\rm B}/N_{0})^{–1}.$
Damit lassen sich verschiedene Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit angeben:
- die so genannte Union Bound (UB):
- $$p_1 = \sum_{l = 2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Pr}[\hspace{0.05cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}1} \hspace{-0.02cm}\mapsto \hspace{-0.02cm}\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l}\hspace{0.05cm}] = \sum_{l \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2}^{2^k}\hspace{0.05cm}{\rm Q}\left ( \sqrt{w_{\rm H}(\underline{x}_{\hspace{0.02cm}l})/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$
- die so genannte Truncated Union Bound (TUB):
- $$p_2 = W_{d_{\rm min}} \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{d_{\rm min}/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm},$$
- $$p_3 = W(\beta) - 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm mit}\hspace{0.15cm} \beta = {\rm e}^{ - 1/(2\sigma^2) } \hspace{0.05cm}.$$
- In diesem Fall ist das Distanzspektrum $\{W_i\}$ durch die Gewichtsfunktion zu ersetzen:
- $$\left \{ \hspace{0.05cm} W_i \hspace{0.05cm} \right \} \hspace{0.3cm} \Leftrightarrow \hspace{0.3cm} W(X) = \sum_{i=0 }^{n} W_i \cdot X^{i} = W_0 + W_1 \cdot X + W_2 \cdot X^{2} + ... \hspace{0.05cm} + W_n \cdot X^{n}\hspace{0.05cm}.$$
Beim Übergang von der Union Bound $p_{1}$ zur ungenaueren Schranke $p_{3}$ wird unter Anderem die Funktion ${\rm Q}(x)$ durch die Chernoff–Rubin–Schranke ${\rm Q}_{\rm CR}(x)$ ersetzt. Beide Funktionen sind in obigerer Grafik dargestellt (rote bzw. grüne Kurve).
In der Aufgabe 1.16Z wird der Zusammenhang zwischen diesen Funktionen numerisch ausgewertet und zu den Schranken ${\rm Q}_{o}(x)$ und ${\rm Q}_{u}(x)$ Bezug genommen, die in obiger Grafik ebenfalls eingezeichnet sind.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Schranken für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit.
- Die oben zitierte Literaturstelle [Liv10] verweist auf das Vorlesungsmanuskript „Liva, G.: Channel Coding. Lehrstuhl für Nachrichtentechnik, TU München und DLR Oberpfaffenhofen, 2010.”
- Weiter verweisen wir auf das interaktive Applet Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.
- Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
Fragebogen
Musterlösung
- $W_{1}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = 1$ auftritt.
- $W_{n}$ gibt an, wie oft das Hamming–Gewicht $w_{\rm H}(\underline{x}_{i}) = n$ auftritt.
Damit lautet die Union Bound:
- $$p_1 = {\rm Pr(Union \hspace{0.15cm}Bound)}= \sum_{i = 1}^{n}\hspace{0.05cm}W_i \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{i/\sigma^2} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
(2) Das Distanzspektrum des $(8, 4, 4)$–Codes wurde mit $W_{0} = 1 , \ W_{4} = 14, \ W_{8} = 1$ angegeben. Somit erhält man für $\boldsymbol{\sigma = 1}$:
- $$p_1 = W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) + W_8 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \cdot \sqrt{2} \right ) = 14 \cdot 2.28 \cdot 10^{-2}+ 1 \cdot 0.23 \cdot 10^{-2} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.3215}\hspace{0.05cm},$$
bzw. für $\boldsymbol{\sigma = 0.5}$:
- $$p_1 = 14 \cdot {\rm Q}\left ( 4 \right ) + {\rm Q}\left ( 4 \cdot \sqrt{2} \right ) = 14 \cdot 3.17 \cdot 10^{-5}+ 1.1 \cdot 10^{-8} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.444 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$
(3) Mit der Minimaldistanz $d_{\rm min} = 4$ erhält man:
- $$\sigma = 1.0: \hspace{0.2cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 2 \right ) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.3192}\hspace{0.05cm},$$
- $$\sigma = 0.5: \hspace{0.2cm} p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm}W_4 \cdot {\rm Q}\left ( 4 \right ) \approx p_1 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.444 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$
(4) Richtig ist Antwort 1. Die Union Bound – hier mit $p_{1}$ bezeichnet – ist in jedem Fall eine obere Schranke für die Blockfehlerwahrscheinlichkeit. Für die Schranke $p_{2}$ (Truncated Union Bound) trifft das nicht immer zu. Beispielsweise erhält man beim $(7, 4, 3)$–Hamming–Code ⇒ $W_{3} = W_{4} = 7, \ W_{7} = 1$ und der Streuung $\sigma = 1$:
- $$p_2 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{3} \right ) = 7 \cdot 4.18 \cdot 10^{-2} \approx 0.293\hspace{0.05cm},$$
- $$p_1 \hspace{-0.15cm}\ = \ \hspace{-0.15cm} p_2 + 7 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4} \right )+ 1 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{7} \right ) \approx 0.455 \hspace{0.05cm}.$$
Die tatsächliche Blockfehlerwahrscheinlichkeit wird wahrscheinlich zwischen $p_{2} = 0.293$ und $p_{1} = 0.455$ liegen (wurde nicht nachgeprüft). Das heißt: $p_{2}$ ist keine obere Schranke.
(5) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3, wie die folgende Rechnung für den $(8, 4, 4)$–Code zeigt:
- Es gilt ${\rm Q}(x) ≤ {\rm QCR}(x) = \exp{(-x^2/2)}$. Damit kann für die Union Bound
- $$p_1 = W_4 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{4/\sigma^2} \right ) +W_8 \cdot {\rm Q}\left ( \sqrt{8/\sigma^2} \right )$$
eine weitere obere Schranke angegeben werden:
- $$p_1 \le W_4 \cdot {\rm exp}\left [ - {4}/(2 \sigma^2) \right ] +W_8 \cdot {\rm exp}\left [ - {8}/(2 \sigma^2) \right ] \hspace{0.05cm}.$$
- Mit $\beta = {\rm exp}[–1/(2\sigma^2)]$ kann hierfür auch geschrieben werden (das vorgegebene $\beta = 1/\sigma$ ist also falsch):
- $$p_1 \le W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8 \hspace{0.05cm}.$$
- Die Gewichtsfunktion des $(8, 4, 4)$–Codes lautet:
- $$W(X) = 1 + W_4 \cdot X^4 + W_8 \cdot X^8 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} W(\beta) - 1 = W_4 \cdot \beta^4 + W_8 \cdot \beta^8$$
- $$\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_3 = W(\beta) - 1 \ge p_1\hspace{0.05cm}.$$
(6) Mit $\sigma = 1$ lautet der Bhattacharyya–Parameter $\beta = \exp{(–0.5)} = 0.6065$ und man erhält damit für die Bhattacharyya–Schranke:
- $$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 0.135 + 0.018 \hspace{0.15cm}\underline{= 1.913}\hspace{0.05cm}.$$
Berücksichtigt man, dass $p_{3}$(eine Schranke für) eine Wahrscheinlichkeit angibt, so ist $p_{3} = 1.913$ nur eine triviale Schranke. Für $\sigma = 0.5$ ergibt sich dagegen $\beta = \exp{(–2)} \approx 0.135.$ Dann gilt:
- $$p_3 = 14 \cdot \beta^4 + \beta^8 = 14 \cdot 3.35 \cdot 10^{-4} + 1.1 \cdot 10^{-7} \hspace{0.15cm}\underline{= 4.7 \cdot 10^{-3}}\hspace{0.05cm}.$$
Ein Vergleich mit der Teilaufgabe (2) zeigt, dass im vorliegenden Beispiel die Bhattacharyya–Schranke $p_{3}$ um den Faktor $(4.7 · 10^{–3})/(0.44 · 10^{–3}) > 10$ oberhalb der Union Bound $p_{1}$ liegt. Der Grund für diese große Abweichung ist die Chernoff–Rubin–Schranke, die deutlich oberhalb der ${\rm Q}$–Funktion liegt. In der Aufgabe 1.16Z wird die Abweichung zwischen ${\rm Q}_{\rm CR}$ und ${\rm Q}(x)$ auch quantitativ berechnet:
- $${{\rm Q_{CR}}( x )}/{{\rm Q}( x )} \approx 2.5 \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {{\rm Q_{CR}}( x = 4 )}/{{\rm Q}( x = 4)} \approx 10 \hspace{0.05cm}.$$
