Exercise 2.5Z: Some Calculations about GF(2 power 3)

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Elemente von $\rm GF(2^3)$ bezüglich $p(x) = x^3 + x + 1$

Wir betrachten nun den Erweiterungskörper (englisch: Extension Field) mit acht Elementen   ⇒   $\rm GF(2^3)$ gemäß der nebenstehenden Tabelle. Da das zugrunde liegende Polynom

$$p(x) = x^3 + x +1 $$

sowohl irreduzibel als auch primitiv ist, kann das vorliegende Galoisfeld in folgender Form angegeben werden:

$${\rm GF}(2^3) = \{\hspace{0.1cm}0\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} 1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm} \alpha\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{2}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{3}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{4}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{5}\hspace{0.05cm},\hspace{0.1cm} \alpha^{6}\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm}. $$

Das Element $\alpha$ ergibt sich dabei als Lösung der Gleichung $p(\alpha) = 0$ im Galoisfeld $\rm GF(2)$. Damit erhält man folgende Nebenbedingung:

$$\alpha^3 + \alpha +1 = 0\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} \alpha^3 = \alpha +1\hspace{0.05cm}.$$

Für die weiteren Elemente gelten folgende Berechnungen:

$$\alpha^4 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^3 = \alpha \cdot (\alpha + 1) = \alpha^2 + \alpha \hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^5 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^4 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha) = \alpha^3 + \alpha^2 = \alpha^2 + \alpha + 1\hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^6 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^5 = \alpha \cdot (\alpha^2 +\alpha + 1)= \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha= \alpha + 1 + \alpha^2 + \alpha = \alpha^2+ 1\hspace{0.05cm}.$$

In dieser Aufgabe sollen Sie einige algebraische Umformungen in diesem Galoisfeld $\rm GF(2^3)$ vornehmen. Unter anderem ist nach der multiplikativen Inversen des Elementes $\alpha^4$ gefragt. Dann muss gelten:

$$\alpha^4 \cdot {\rm Inv_M}( \alpha^4) = 1 \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Erweiterungskörper.
• Diese Aufgabe ist als Ergänzung zur etwas schwierigeren Aufgabe 2.5 gedacht.

Fragebogen

1

Welche der Aussagen treffen für die höheren Potenzen von $\alpha^{i} \ (i ≥ 7)$ zu?

	$\alpha^7 = 1$,
	$\alpha^8 = \alpha$,
	$\alpha^{13} = \alpha^2 + 1$,
	$\alpha^i = \alpha^{i \ \rm mod \, 7}$.

2

Welche Umformung ist für $A = \alpha^8 + \alpha^6 - \alpha^2 + 1$ zulässig?

	$A = 1$,
	$A = \alpha$,
	$A = \alpha^2$,
	$A = \alpha^3$,
	$A = \alpha^4$.

3

Welche Umformung ist für $B = \alpha^{16} - \alpha^{12} \cdot \alpha^3$ zulässig?

	$B = 1$,
	$B = \alpha$,
	$B = \alpha^2$,
	$B = \alpha^3$,
	$B = \alpha^4$.

4

Welche Umformung ist für $C = \alpha^3 + \alpha$ zulässig?

	$C = 1$,
	$C = \alpha$,
	$C = \alpha^2$,
	$C = \alpha^3$,
	$C = \alpha^4$.

5

Welche Umformung ist für $D = \alpha^4 + \alpha$ zulässig?

	$D = 1$,
	$D = \alpha$,
	$D = \alpha^2$,
	$D = \alpha^3$,
	$D = \alpha^4$.

6

Welche Umformung ist für $E = A \cdot B \cdot C/D$ zulässig?

	$E = 1$,
	$E = \alpha$,
	$E = \alpha^2$,
	$E = \alpha^3$,
	$E = \alpha^4$.

7

Welche Aussagen gelten für die multiplikative Inverse zu $\alpha^2 + \alpha$?

	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = 1$,
	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = \alpha + 1$,
	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = \alpha^3$,
	${\rm Inv_M}(\alpha^2 + \alpha) = \alpha^4$.

Musterlösung

Solution

(1)  Beispielsweise findet man mit Hilfe der vorne angegebenen Tabelle:

$$\alpha^7 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^6 = \alpha \cdot (\alpha^2 + 1) = \alpha^3 + \alpha = (\alpha + 1) + \alpha = 1 \hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^8 \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha \cdot \alpha^7 = \alpha \cdot 1 = \alpha\hspace{0.05cm},$$

$$\alpha^{13} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \alpha^7 \cdot \alpha^6 = 1 \cdot \alpha^6 = \alpha^2 + 1\hspace{0.05cm}.$$

Die Tabelle lässt sich also modulo $7$ fortsetzen. Das bedeutet: Alle Lösungsvorschläge sind richtig.

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2 wegen

• $\alpha^8 = \alpha$ entsprechend Teilaufgabe (1),
• $\alpha^6 = \alpha^2 + 1$ (gemäß Tabelle), und
• $-\alpha^2 = \alpha^2$ (Operationen im binären Galoisfeld).

Also gilt:

$$A = \alpha^8 + \alpha^6 - \alpha^2 + 1 = \alpha + (\alpha^2 + 1) + \alpha^2 + 1 = \alpha \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Mit $\alpha^{16} = \alpha^{16-14} = \alpha^2$ sowie $\alpha^{12} \cdot \alpha^3 = \alpha^{15} = \alpha^{15-14} = \alpha$ erhält man den Lösungsvorschlag 5:

$$B = \alpha^2 + \alpha= \alpha^4 \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Es gilt $\alpha^3 = \alpha + 1$ und damit $C = \alpha^3 + \alpha = \alpha + 1 + \alpha = 1$   ⇒   Lösungsvorschlag 1.

(5)  Mit $\alpha^4 = \alpha^2 + \alpha$ erhält man $D = \alpha^4 + \alpha = \alpha^2$   ⇒   Lösungsvorschlag 3.

(6)  Richtig ist Lösungsvorschlag 4:

$$E = A \cdot B \cdot C/D = \alpha \cdot \alpha^4 \cdot 1/\alpha^2 = \alpha^3 \hspace{0.05cm}.$$

(7)  Laut Tabelle gilt $\alpha^2 + \alpha = \alpha^4$. Deshalb muss gelten:

$$\alpha^4 \cdot {\rm Inv_M}( \alpha^4) = 1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} {\rm Inv_M}( \alpha^2 + \alpha) = {\rm Inv_M}( \alpha^4) = \alpha^{-4} = \alpha^3 \hspace{0.05cm}.$$

Wegen $\alpha^3 = \alpha + 1$ sind somit die Lösungsvorschläge 2 und 3 richtig.