Exercise 3.7: Synchronous Demodulator

Die Spektralfunktionen $R(f)$ und $Z_{\rm E}(f)$

Zur Rücksetzung eines amplitudenmodulierten Signals in den ursprünglichen Frequenzbereich verwendet man oft einen Synchrondemodulator:

Dieser multipliziert das AM-Eingangssignal $r(t)$ mit einem empfangsseitigen Trägersignal $z_{\rm E}(t)$, das sowohl hinsichtlich der Frequenz $f_{\rm T}$ als auch der Phase $\varphi_{\rm T}$ mit dem sendeseitigen Trägersignal $z_{\rm S}(t)$ übereinstimmen sollte.
Es folgt ein rechteckförmiger Tiefpass zur Eliminierung aller spektralen Anteile oberhalb der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$. Das Ausgangssignal des Synchrondemodulators nennen wir $v(t)$.

Das oben skizzierte Spektrum $R(f)$ des Empfangssignals $r(t)$ ist durch Zweiseitenband–Amplitudenmodulation eines sinusförmigen Quellensignals $q(t)$ mit der Frequenz $5\,\text{kHz}$ und der Amplitude $8\,\text{V}$ entstanden. Als sendeseitiges Trägersignal $z_{\rm S}(t)$ wurde ein Cosinussignal mit der Frequenz $30\,\text{kHz}$ verwendet.

Das Spektrum des empfangsseitigen Trägersignals $z_{\rm E}(t)$ besteht entsprechend der unteren Skizze aus zwei Diraclinien, jeweils mit dem Gewicht $A/2$. Da $z_{\rm E}(t)$ keine Einheit beinhalten soll, sind auch die Gewichte der Diracfunktionen dimensionslos.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Faltungssatz und Faltungsoperation.
Wichtige Informationen finden Sie vor allem auf der Seite Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Benennen wir das Signal nach dem Multiplizierer mit $m(t) = r(t) \cdot z_{\rm E}(t)$, so ergibt sich das zugehörige Spektrum $M(f)$ als das Faltungsprodukt aus $R(f)$ und $Z_{\rm E}(f)$.

Die Faltung des Spektrums $R(f)$ mit der rechten Diraclinie bei $+30 \text{kHz}$ führt zu diskreten Spektrallinien bei $-\hspace{-0.08cm}5\, \text{kHz}$, $+5 \,\text{kHz}$, $+55 \,\text{kHz}$ und $+65 \,\text{kHz}$. Diese sind alle imaginär und gegenüber den Impulsgewichten von $R(f)$ um den Faktor $A/2 = 0.5$ kleiner.
Die Faltung von $R(f)$ mit dem Dirac bei $-\hspace{-0.08cm}30 \,\text{kHz}$ ergibt Linien bei $-\hspace{-0.08cm}65 \,\text{kHz}$, $-55 \,\text{kHz}$, $-5 \,\text{kHz}$ und $+5 \,\text{kHz}$.

Durch Überlagerung der beiden Zwischenresultate und Berücksichtigung des Tiefpassfilters, der die Linien bei $\pm 55 \text{kHz}$ und $\pm 65 \text{kHz}$unterdrückt, folgt somit für das Spektrum des Sinkensignals:

$$V( f) = - {\rm{j}} \cdot 2\;{\rm{V}} \cdot \delta ( {f - f_{\rm N} }) + {\rm{j}} \cdot 2\;{\rm{V}} \cdot \delta ( {f + f_{\rm N} } )\hspace{0.3cm}{\rm mit}\hspace{0.3cm}f_{\rm N} = 5\;{\rm kHz}.$$

Das Sinkensignal $v(t)$ ist also ein $5 \text{kHz}$–Sinussignal mit der Amplitude $4 \text{V}$.
Der Zeitpunkt $t = 50\, µ\text{s}$ entspricht einem Viertel der Periodendauer $T_0 = 1/f_{\rm N} = 200\, µ\text{s}$.
Somit ist hier das Sinkensignal maximal, also $\underline{4 \text{V}}$.

(2) Mit $A = 1$ ist also $v(t)$ nur halb so groß wie $q(t)$ ⇒ Mit $\underline{A = 2}$ sind beide Signale gleich.

(3) Die Diraclinien bei $\pm f_{\rm T}$ haben jeweils das Gewicht $1$. Alle nachfolgend genannten Spektrallinien sind imaginär und betragsmäßig gleich $2 \text{V}$.

Die Faltung von $R(f)$ mit der rechten Diraclinie von $z_{\rm E}(t)$ liefert Anteile bei $-\hspace{-0.08cm}4\, \text{kHz (p: positiv)}$, $+6 \,\text{kHz (n: negativ)}$, $+56 \,\text{kHz (p)}$ und $+66 \,\text{kHz (n)}$.
Dagegen führt die Faltung mit der linken Diracfunktion zu Spektrallinien bei $-\hspace{-0.08cm}66 \,\text{kHz (p)}$, $-\hspace{-0.08cm}56 \,\text{kHz (n)}$, $-\hspace{-0.08cm}6 \,\text{kHz (p)}$ und $+4 \,\text{kHz (n)}$, alle ebenfalls mit den (betragsmäßigen) Impulsgewichten $2 \text{V}$.
Unter Berücksichtigung des Tiefpasses verbleiben nur die vier Spektrallinien bei $\pm 4 \,\text{kHz}$ und $\pm 6 \,\text{kHz}$. Das dazugehörige Zeitsignal lautet somit mit $f_4 = 4 \,\text{kHz}$ und $f_6 = 6 \,\text{kHz}$:

$$v( t ) = 4\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_4 t} ) + 4\;{\rm{V}} \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_6 t} ).$$

Zum Zeitpunkt $t = 50\, µ\text{s}$ erhält man:

$$v( t = 50\, µ\text{s}) = 4\;{\rm{V}} \cdot \left( {\sin ( {0.4{\rm{\pi }}} ) + \sin ( {0.6{\rm{\pi }}} )} \right)\hspace{0.15 cm}\underline{ = 7.608\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$