Exercise 3.12: Path Weighting Function

Faltungscodierer mit $m = 1$ und Zustandsübergangsdiagramm

In Aufgabe 3.6 wurde das Zustandsübergangsdiagramm für den gezeichneten Faltungscodierer mit den Eigenschaften

Rate $R = 1/2$,
Gedächtnis $m = 1$,
Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D) = (1, \, D)$

ermittelt, das ebenfalls rechts dargestellt ist.

Es soll nun aus dem Zustandsübergangsdiagramm

die Pfadgewichtsfunktion $T(X)$, und
die erweiterte Pfadgewichtsfunktion $T_{\rm enh}(X, \, U)$

bestimmt werden, wobei $X$ und $U$ Dummy–Variablen sind.

Die Vorgehensweise ist im Theorieteil zu diesem Kapitel eingehend erläutert. Schließlich ist aus $T(X)$ noch die freie Distanz $d_{\rm F}$ zu bestimmen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Distanzeigenschaften und Fehlerwahrscheinlichkeitsschranken.
Berücksichtigen Sie bei der Lösung die Reihenentwicklung

$$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}.$$

Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

Zustandsübergangsdiagramm nach Modifikationen

(1) Aus der nebenstehenden Grafik erkennt man, dass die Lösungsvorschläge 1, 3, 4 und 5 richtig sind:

Der Zustand $S_0$ muss in einen Startzustand $S_0$ und einen Endzustand ${S_0}'$ aufgespalten werden.
Der Grund hierfür ist, dass für die folgende Berechnung der Pfadgewichtsfunktion $T(X, \, U)$ alle Übergänge von $S_0$ nach $S_0$ ausgeschlossen werden müssen.
Jedes Codesymbol $x ∈ \{0, \, 1\}$ wird durch $X^x$ dargestellt, wobei $X$ eine Dummy–Variable hinsichtlich der Ausgangssequenz ist: $x = 0 \ \Rightarrow \ X^0 = 1, \ x = 1 \ \Rightarrow \ X^1 = X.$ Daraus folgt weiter $(00) \ \Rightarrow \ 1, \ (01) \ \Rightarrow \ X, \ (10) \ \Rightarrow \ X, \ (11) \ \Rightarrow \ X^2$.
Bei einem blauen Übergang im ursprünglichen Diagramm – dies steht für $u_i = 1$ – ist im modifizierten Diagramm der Faktor $U$ hinzuzufügen.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Das reduzierte Diagramm ist entsprechend der Auflistung im Theorieteil ein „Ring”. Daraus folgt:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{A(X, U) \cdot B(X, U)}{1- C(X, U)} \hspace{0.05cm}.$$

Mit $A(X, \, U) = UX^2, \ B(X, \, U) = X, \ C(X, \, U) = UX$ erhält man mit der angegebenen Reihenentwicklung:

$$T_{\rm enh}(X, U) = \frac{U \hspace{0.05cm} X^3}{1- U \hspace{0.05cm} X} = U \hspace{0.05cm} X^3 \cdot \left [ 1 + (U \hspace{0.05cm} X) + (U \hspace{0.05cm} X)^2 +\text{...} \hspace{0.10cm} \right ] \hspace{0.05cm}.$$

(3) Man kommt von der erweiterten Pfadgewichtsfunktion zu $T(X)$, indem der Formalparameter $U = 1$ gesetzt wird. Richtig sind also beide Lösungsvorschläge.

(4) Die freie Distanz $d_{\rm F}$ lässt sich aus der Pfadgewichtsfunktion $T(X)$ als der niedrigste Exponent der Dummy–Variablen $X$ ablesen ⇒ $d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.

	Der Zustand $S_0$ muss in $S_0$ und $S_0'$ aufgespalten werden.
	Der Zustand $S_1$ muss in $S_1$ und $S_1'$ aufgespalten werden.
	Der Übergang von $S_0$ nach $S_1$ ist mit $UX^2$ zu beschriften.
	Der Übergang von $S_1$ nach $S_1$ ist mit $UX$ zu beschriften.
	Der Übergang von $S_1$ nach $S_0'$ ist mit $X$ zu beschriften.

	$T_{\rm enh}(X, \, U) = U^2X^3$
	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3/(1 \, –UX)$
	$T_{\rm enh}(X, \, U) = UX^3 + U^2X^4 + U^3X^5 + \hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$

	$T(X) = X^3/(1 \, –X)$,
	$T(X) = X^3 + X^4 + X^5 +\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.1cm}$