Attenuation of Copper Cables

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Applet Description

Theoretical Background

Magnitude Frequency Response and Attenuation Function

Following relationship exists between the magnitude frequency response and the attenuation function:

$$\left | H_{\rm K}(f)\right |=10^{-a_\text{K}(f)/20} = {\rm e}^{-a_\text{K, Np}(f)}.$$

The index „K” makes it clear, that the considered LTI system is a cable(Ger: Kabel).
For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K}(f)$ must be used in $\rm dB$ (decibel).
For the first calculation rule, the damping function $a_\text{K, Np}(f)$ must be used in $\rm Np$ (Neper).
The following conversions apply: $\rm 1 \ dB = 0.05 \cdot \ln (10) \ Np= 0.1151 \ Np$ or $\rm 1 \ Np = 20 \cdot \lg (e) \ dB= 8.6859 \ dB$.
This applet exclusively uses dB values.

Attenuation Function of a Coaxial Cable

According to [Wel77]^[1] the Attenuation Function of a Coaxial Cable of length $l$ is given as follows:

$$a_{\rm K}(f)=(\alpha_0+\alpha_1\cdot f+\alpha_2\cdot \sqrt{f}) \cdot l.$$

It is important to note the difference between $a_{\rm K}(f)$ in $\rm dB$ and the „alpha” coefficient with other pseudo–units.
The attenuation function $a_{\rm K}(f)$ is directly proportional to the cable length $l$; $a_{\rm K}(f)/l$ is referred to as the „attenuation factor” or „kilometric attenuation”.
The frequency-independent component $α_0$ of the attenuation factor takes into account the Ohmic losses.
The frequency proportional portion $α_1 · f$ of the attenuation factor is due to the derivation losses („crosswise loss”) .
the dominant portion $α_2$ goes back to Skineffekt, which causes a lower current density inside the conductor compared to its surface. As a result, the resistance of an electric line increases with the square root of the frequency.

The constants for the standard coaxial cable with a 2.6 mm inner diameter and a 9.5 mm outer diameter ⇒ short Coax (2.6/9.5 mm) are:

$$\alpha_0 = 0.014\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0038\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 = 2.36\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

The same applies to the coaxial coaxial cable' ⇒ short Coax (1.2/4.4 mm):

$$\alpha_0 = 0.068\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_1 = 0.0039\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot MHz} }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \alpha_2 =5.2\, \frac{ {\rm dB} }{ {\rm km \cdot \sqrt{MHz} } }\hspace{0.05cm}.$$

These values can be calculated from the cables' geometric dimensions and have been confirmed by measurements at the Fernmeldetechnisches Zentralamt in Darmstadt – see [Wel77]^[1] . They are valid for a temperature of 20 ° C (293 K) and frequencies greater than 200 kHz.

Attenuation Function of a Two–wired Line

According to [PW95]^[2] the attenuation function of a Two–wired Line of length $l$ is given as follows:

$$a_{\rm K}(f)=(k_1+k_2\cdot (f/{\rm MHz})^{k_3}) \cdot l.$$

This function is not directly interpretable, but is a phenomenological description.

[PW95]^[2]also provides the constants determined by measurement results:

$d = 0.35 \ {\rm mm}$: $k_1 = 7.9 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 15.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.62$,
$d = 0.40 \ {\rm mm}$: $k_1 = 5.1 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 14.3 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.59$,
$d = 0.50 \ {\rm mm}$: $k_1 = 4.4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = 10.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.60$,
$d = 0.60 \ {\rm mm}$: $k_1 = 3.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_2 = \hspace{0.25cm}9.2 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}k_3 = 0.61$.

From these numerical values one recognizes:

The attenuation factor $α(f)$ and the attenuation function $a_{\rm K}(f) = α(f) · l$ depend significantly on the pipe diameter. The cables laid since 1994 with $d = 0.35 \ \rm (mm)$ and $d = 0.5$ mm have a 10% greater attenuation factor than the older lines with $d = 0.4$ or $d= 0.6$.
However, this smaller diameter, which is based on the manufacturing and installation costs, significantly reduces the range $l_{\rm max}$ of the transmission systems used on these lines, so that in the worst case scenario expensive intermediate generators have to be used.
The current transmission methods for copper lines prove only a relatively narrow frequency band, for example $120\ \rm kHz$ with ISDN and ca. $1100 \ \rm kHz$ with DSL. For $f = 1 \ \rm MHz$ the attenuation factor of a 0.4 mm cable is around $20 \ \rm dB/km$, so that even with a cable length of $l = 4 \ \rm km$ the Attenuation does not exceed $80 \ \rm dB$.

Umrechnung zwischen $k$– und $\alpha$– Parametern

Es besteht die Möglichkeit, die $k$–Parameter des Dämpfungsmaßes ⇒ $\alpha_{\rm I} (f)$ in entsprechende $\alpha$–Parameter ⇒ $\alpha_{\rm II} (f)$ umzurechnen:

$$\alpha_{\rm I} (f) = k_1 + k_2 \cdot (f/f_0)^{k_3}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}{\rm mit} \hspace{0.15cm} f_0 = 1\,{\rm MHz},$$

$$\alpha_{\rm II} (f) = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot f + \alpha_2 \cdot \sqrt {f}.$$

Als Kriterium dieser Umrechnung gehen wir davon aus, dass die quadratische Abweichung dieser beiden Funktioneninnerhalb einer Bandbreite $B$ minimal ist:

$$\int_{0}^{B} \left [ \alpha_{\rm I} (f) - \alpha_{\rm II} (f)\right ]^2 \hspace{0.1cm}{\rm d}f \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Minimum} \hspace{0.05cm} .$$

Es ist offensichtlich, dass $α_0 = k_1$ gelten wird. Die Parameter $α_1$ und $α_2$ sind von der zugrunde gelegten Bandbreite $B$ abhängigund lauten:

$$\begin{align*}\alpha_1 & = 15 \cdot (B/f_0)^{k_3 -1}\cdot \frac{k_3 -0.5}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\\ \alpha_2 & = 10 \cdot (B/f_0)^{k_3 -0.5}\cdot \frac{1-k_3}{(k_3 + 1.5)(k_3 + 2)}\cdot {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm} .\end{align*}$$

$\text{Beispiel 1:}$

Für $k_3 = 1$ (frequenzproportionales Dämpfungsmaß) ergeben sich folgerichtig $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_1 = {k_2}/{ {f_0} }\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = 0\hspace{0.05cm} .$
Für $k_3 = 0.5$ (entsprechend Skineffekt) erhält man folgende Koeffizienten: $\alpha_0 = k_0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm}\alpha_1 = 0\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.2cm} \alpha_2 = {k_2}/{\sqrt{f_0} }\hspace{0.05cm}.$
Für $k_3 < 0.5$ ergibt sich ein negatives $\alpha_1$. Umrechnung ist nur für $0.5 \le k_3 \le 1$ möglich.

Umrechnung in Gegenrichtung

Fehlt noch

Zum Kanaleinfluss auf die binäre Nyquistentzerrung

Vereinfachtes Blockschaltbild des optimalen Nyquistentzerrers

Wir gehen vom skizzierten Blockschaltbild aus. Zwischen der Diracquelle und dem Entscheider liegen die Frequenzgänge für Sender ⇒ $H_{\rm S}(f)$, Kanal ⇒ $H_{\rm K}(f)$ und Empfänger ⇒ $H_{\rm E}(f)$.

In diesem Applet

vernachlässigen wir den Einfluss der Sendeimpulsform ⇒ $H_{\rm S}(f) \equiv 1$ ⇒ diracförmiges Sendesignal $s(t)$,
setzen ein binäres Nyquistsystem mit Cosinus–Roll-off um die Nyquistfrequenz $f_{\rm Nyq} = [f_1 + f_2]/2 =1(2T)$ voraus:

$$H_{\rm K}(f) · H_{\rm E}(f) = H_{\rm CRO}(f).$$

Das bedeutet: Das erste Nyquistkriterium wird erfüllt ⇒
Zeitlich aufeinander folgende Impulse stören sich nicht gegenseitig ⇒ es gibt keine Impulsinterferenzen (englisch: Intersymbol Interference, ISI).

Bei weißem Rauschen wird somit die Übertragungsqualität allein durch die Rauschleistung vor dem Empfänger bestimmt:

$$P_{\rm N} =\frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm E}(f)|^2 \ {\rm d}f\hspace{1cm}\text{mit}\hspace{1cm}|H_{\rm E}(f)|^2 = \frac{|H_{\rm CRO}(f)|^2}{|H_{\rm K}(f)|^2}.$$

Die kleinstmögliche Rauschleistung ergibt sich bei idealem Kanal ⇒ $H_{\rm K}(f) \equiv 1$ und rechteckfömigem $H_{\rm CRO}(f) \equiv 1$ im Bereich $|f| \le f_{\rm Nyq}$:

$$P_\text{N, min} = P_{\rm N} \ \big [\text{optimales System: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=0 \big ] = N_0 \cdot f_{\rm Nyq} .$$

$\text{Definitionen:}$

Als Gütekriterium für ein gegebenes System verwenden wir den Gesamt–Wirkungsgrad:

$$\eta_\text{K+R} = \frac{P_{\rm N} \ \big [\text{gegebenes System: Kanal }H_{\rm K}(f), \ \text{Roll-off-Faktor }r \big ]}{P_{\rm N} \ \big [\text{optimales System: }H_{\rm K}(f) \equiv 1, \ r=0 \big ]} =\frac{1}{f_{\rm Nyq} } \cdot \int_{0}^{+\infty} \vert H_{\rm E}(f) \vert^2 \ {\rm d}f \le 1.$$

Diese Systemgröße wird im Applet für beide Parametersätze in logarithmierter Form angegeben: $10 \cdot \lg \ \eta_\text{K+R} \le 0 \ \rm dB$.

Durch Variation und Optimierung des Roll-off-Faktors $r$ erhält man den Kanal–Wirkungsgrad:

$$\eta_\text{K} = \min_{0 \le r \le 1} \ \eta_\text{K+R} .$$

Ab hier bis zum Beginn der Versuchsdurchführung ist alles Mist - eine Art Vorratsspeicher

Bei UMTS ist das Empfangsfilter $H_{\rm E}f) = H_{\rm S}(f)$ an den Sender angepasst (Matched–Filter) und der Gesamtfrequenzgang $H(f) = H_{\rm S}(f) · H_{\rm E}(f)$ erfüllt

$$ H(f) = H_{\rm CRO}(f) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \cos^2 \left( \frac {\pi \cdot (|f| - f_1)}{2 \cdot (f_2 - f_1)} \right)\end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}}\\ {\rm sonst }\hspace{0.05cm}. \end{array} \begin{array}{*{20}c} |f| \le f_1, \\ |f| \ge f_2,\\ \\\end{array}$$

Die zugehörige Zeitfunktion lautet:

$$h(t) = h_{\rm CRO}(t) ={\rm si}(\pi \cdot t/ T_{\rm C}) \cdot \frac{\cos(r \cdot \pi t/T_{\rm C})}{1- (2r \cdot t/T_{\rm C})^2}. $$

„CRO” steht hierbei für Cosinus–Rolloff (englisch: Raised Cosine). Die Summe $f_1 + f_2$ ist gleich dem Kehrwert der Chipdauer $T_{\rm C} = 260 \ \rm ns$, also gleich $3.84 \ \rm MHz$. Der Rolloff–Faktor (wir bleiben bei der in $\rm LNTwww$ gewählten Bezeichnung $r$, im UMTS–Standard wird hierfür $\alpha$ verwendet)

$$r = \frac{f_2 - f_1}{f_2 + f_1} $$

wurde bei UMTS zu $r = 0.22$ festgelegt. Die beiden Eckfrequenzen sind somit

$$f_1 = {1}/(2 T_{\rm C}) \cdot (1-r) \approx 1.5\,{\rm MHz}, \hspace{0.2cm} f_2 ={1}/(2 T_{\rm C}) \cdot (1+r) \approx 2.35\,{\rm MHz}.$$

Die erforderliche Bandbreite beträgt $B = 2 · f_2 = 4.7 \ \rm MHz$. Für jeden UMTS–Kanal steht somit mit $5 \ \rm MHz$ ausreichend Bandbreite zur Verfügung.

Cosinus–Rolloff–Spektrum und Impulsantwort

$\text{Fazit:}$ Die Grafik zeigt

links das (normierte) Nyquistspektrum $H(f)$, und
rechts den zugehörigen Nyquistimpuls $h(t)$, dessen Nulldurchgänge im Abstand $T_{\rm C}$ äquidistant sind.

$\text{Es ist zu beachten:}$

Das Sendefilter $H_{\rm S}(f)$ und Matched–Filter $H_{\rm E}(f)$ sind jeweils Wurzel–Cosinus–Rolloff–förmig (englisch: Root Raised Cosine). Erst das Produkt $H(f) = H_{\rm S}(f) · H_{\rm E}(f)$ den Cosinus–Rolloff.
Das bedeutet auch: Die Impulsantworten $h_{\rm S}(t)$ und $h_{\rm E}(t)$ erfüllen für sich allein die erste Nyquistbedingung nicht. Erst die Kombination aus beiden (im Zeitbereich die Faltung) führt zu den gewünschten äquidistanten Nulldurchgängen.

$$a_k(f)=(k_1+k_2\cdot f^{k_3})\cdot l \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \text{empirische Formel von Pollakowski & Wellhausen.}$$

Umrechnung der $k$-Parameter in die $a$-Parameter nach dem Kriterium, dass der mittlere quadratische Fehler innerhalb der Bandbreite $B$ minimal sein soll:

$$a_0=k_1 \text{(trivial)}, \quad a_1=15\cdot B^{k_3-1}\cdot \frac{k_2\cdot (k_3-0.5)}{(k_3+1.5)\cdot (k_3+2)}, \quad a_2=10\cdot B^{k_3-0.5}\cdot \frac{k_2\cdot (1-k_3)}{(k_3+1.5)\cdot (k_3+2)}.$$

Kontrolle: $k_3=1 \Rightarrow a_1=k_2;\ a_2=0 \quad k_3=0.5 \Rightarrow a_1=0;\ a_2=k_2.$
Der Gesamtfrequenzgang $H(f)$ ist ein Cosinus-Rolloff-Tiefpass mit Rolloff-Faktor $r$, wobei stets $B=f_2$ und $r=\frac{f_2-f_1}{f_2+f_1}$ gelten soll.
Ohne Berücksichtigung des Sendespektrums gilt $H(f)=H_K(f)\cdot H_E(f) \Rightarrow H_E(f)=\frac{H(f)}{H_K(f)}$.
Der angegebene Integralwert $=\int_{-\infty}^{+\infty} \left| H_E(f)\right|^2 \hspace{0.15cm} {\rm d}f$ ist ein Maß für die Rauschleistung des Systems, wenn der Kanal $H_K(f)$ durch das Empfangsfilter $H_E(f)$ in weiten Bereichen bis $f_1$ vollständig entzerrt wird.

idealer Kanal ($a_0=a_1=a_2=0$ dB), $B=20$ MHz, $r=0$: Integralwert = $40$ MHz.
schwach verzerrender Kanal ($a_2=5$ dB), $B=20$ MHz, $r=0.5$: Integralwert $\approx 505$ MHz.

Versuchsdurchführung

Wählen Sie zunächst die Nummer 1 ... 6 der zu bearbeitenden Aufgabe.
Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
Lösung nach Drücken von „Hide solution”.
Aufgabenstellung und Lösung in Englisch.

Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”:

Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.
Ausgabe eines „Reset–Textes” mit weiteren Erläuterungen zum Applet.

In der folgenden Beschreibung bedeutet

Blau: Verteilungsfunktion 1 (im Applet blau markiert),
Rot: Verteilungsfunktion 2 (im Applet rot markiert).

(1) Setzen Sie Blau zunächst auf $\text{Coax (2.6/9.5 mm)}$ und anschließend auf $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$. Die Kabellänge sei jeweils $l_{\rm Blau}= 3\ \rm km$.

Betrachten und Interpretieren Sie $a_{\rm K}(f)$ und $\vert H_{\rm K}(f) \vert$, insbesondere die Funktionswerte $a_{\rm K}(f = f_\star = 30 \ \rm MHz)$ und $\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert$.

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Näherungsweise steigt die Dämpfungsfunktion mit }\sqrt{f}\text{ und der Betragsfrequenzgang fällt ähnlich einer Exponentialfunktion};$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (2.6/9.5 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 39.2\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.9951;$

$\hspace{1.15cm}\text{Coax (1.2/4.4 mm): }a_{\rm K}(f = f_\star) = 86.0\text{ dB;}\hspace{0.5cm}\vert H_{\rm K}(f = 0) \vert = 0.9768.$

(2) Für Blau gelte $\text{Coax (1.2/4.4 mm)}$ und $l_{\rm Blau} = 3\ \rm km$. Wie wird $a_{\rm K}(f =f_\star = 30 \ \rm MHz)$ von $\alpha_0$, $\alpha_1$ und $\alpha_2$ beeinflusst?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Entscheidend ist }\alpha_2\text{ (Skineffekt). Die Beiträge von } \alpha_0\text{ (Ohmsche Verluste) und }\alpha_1 \text{ (Querverluste) sind jeweils nur ca. 0.2 dB.}$

(3) Setzen Sie zusätzlich Rot auf $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ und $l_{\rm Rot} = 3\ \rm km$. Welcher Wert ergibt sich für $a_{\rm K}(f =f_\star= 30 \ \rm MHz)$?

Bis zu welcher Länge $l_{\rm Rot}$ liegt die rote Dämfungsfunktion unter der blauen?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Für die rote Kurve gilt: }a_{\rm K}(f = f_\star) = 262.5 {\ \rm dB} \text{. Obige Bedingung wird erfüllt für }l_{\rm Rot} = 0.95\ {\rm km} \ \Rightarrow \ a_{\rm K}(f = f_\star) = ??? {\ \rm dB}.$

(4) Setzen Sie Rot auf $\text{Two–wired Line (0.5 mm)}$ und Blau auf $\text{Conversion of Red}$. Es gelte $l_{\rm Rot} = l_{\rm Blau} = 1\ \rm km$.

Betrachten und Interpretieren Sie die dargestellten Funktionsverläufe für $a_{\rm K}(f)$ und $\vert H_{\rm K}(f) \vert$.

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Sehr gute Approximation der Zweidrahtleitung durch den blauen Parametersatz, sowohl bezüglich }a_{\rm K}(f) \text{ als auch }\vert H_{\rm K}(f) \vert.$

(5) Es gelten die Einstellungen von (4). Welche Anteile der Dämpfungsfunktion gehen auf Ohmschen Verlust, Querverluste und Skineffekt zurück?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Lösung anhand '''Blau''': }\alpha_0(f = f_\star= 30 \ {\rm MHz}) = 4 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}\alpha_1(f = f_\star) = 12.8 \ {\rm dB/km}, \hspace{0.2cm}\alpha_2(f = f_\star) = 60.9 \ {\rm dB/km};$

$\hspace{1.15cm}\text{Bei einer Zweidrahtleitung ist der Einfluss der Längs– und der Querverluste signifikant größer als bei einem Koaxialkabel.}$

(6) Variieren Sie ausgehend von der bisherigen Einstellung den Parameter $0.5 \le k_3 \le 1$. Was erkennt man anhand von $a_{\rm K}(f)$ und $\vert H_{\rm K}(f) \vert$?

$\Rightarrow\hspace{0.3cm}\text{Bei festem }k_2\text {wird }a_{\rm K}(f)\text{ immer größer und es ergibt sich für }k_3 = 1\text{ ein linearer Verlauf; }\vert H_{\rm K}(f) \vert \text{ nimmt immer schneller ab;}$

$\hspace{1.15cm}\text{Mit }k_3 \to 0.5\text{ nähert sich die Dämpfungsfunktion der Zweidrahtleitung der eines Koaxialkabels immer mehr an.}$

Vorgeschlagene Parametersätze

(1)   Nur blauer Parametersatz, $l=1$ km, $B=30$ MHz, $r=0$, $a_0=20$, $a_1=0$, $a_2=0$:
Konstante Werte $a_K=20$ dB und $\left| H_K(f)\right|=0.1$. Nur Ohmsche Verluste werden berücksichtigt.
(2) Parameter wie (1), aber zusätzlich $a_1=1$ dB/(km · MHz):
Linearer Anstieg von $a_K(f)$ zwischen $20$ dB und $50$ dB, $\left| H_K(f)\right|$ fällt beidseitig exponentiell ab.
(3)   Parameter wie (1), aber $a_0=0$, $a_1=0$, $a_2=1$ dB/(km · MHz^1/2).
$a_K(f)$ und $\left| H_K(f)\right|$ werden ausschließlich durch den Skineffekt bestimmt. $a_K(f)$ ist proportional zu $f^{1/2}$.
(4)   Parameter wie (1), aber nun mit der Einstellung „Koaxialkabel $2.6/9.5$ mm“ (Normalkoaxialkabel):
Es überwiegt der Skineffekt; $a_k$ ($f=30$ MHz)$=13.05$ dB; ohne $a_0$: $13.04$ dB, ohne $a_1=12.92$ dB.
(5)   Parameter wie (1), aber nun mit der Einstellung „Koaxialkabel $1.2/4.4$ mm“ (Kleinkoaxialkabel):
Wieder überwiegt der Skineffekt; $a_k$ ($f=30$ MHz)$=28.66$ dB; ohne $a_0$: $28.59$ dB, ohne $a_1=28.48$ dB.
(6)   Nur roter Parametersatz, $l=1 km$, $b=30$ MHz, $r=0$, Einstellung „Zweidrahtleitung $0.4$ mm“.
Skineffekt ist auch hier dominant; $a_k$ ($f=30$ MHz)$=111.4$ dB; ohne $k_1$: $106.3$ dB.
(7)   Parameter wie (6), aber nun Halbierung der Kabellänge ($l=0.5$ km):
Auch die Dämpfungswerte werden halbiert: $a_k$ ($f=30$ MHz)$=55.7$ dB; ohne $k_1$: $53.2$ dB.
(8)   Parameter wie (7), dazu im blauen Parametersatz die umgerechneten Werte der Zweidrahtleitung:
Sehr gute Approximation der $k$-Parameter durch die $a$-Parameter; Abweichung < $0.4$ dB.
(9)   Parameter wie (8), aber nun Approximation auf die Bandbreite $B=20$ MHz:
Noch bessere Approximation der $k$-Parameter durch die $a$-Parameter; Abweichung < $0.15$ dB.
(10)   Nur blauer Parametersatz, $l=1$ km, $B=30$ MHz, $r=0$, $a_0=a_1=a_2=0$; unten Darstellung $\left| H_K(f)\right|^2$:
Im gesamten Bereich ist $\left| H_K(f)\right|^2=1$; der Integralwert ist somit $2B=60$ (in MHz).
(11)   Parameter wie (10), aber nun mit Einstellung „Koaxialkabel $2.6/9.5$ mm“ (Normalkoaxialkabel):
$\left| H_K(f)\right|^2$ ist bei $f=1$ etwa $1$ und steigt zu den Rändern bis ca. $20$. Der Integralwert ist ca. $550$.
(12)   Parameter wie (11), aber nun mit der deutlich größeren Kabellänge $l=5$ km:
Deutliche Verstärkung des Effekts; Anstieg bis ca. $3.35\cdot 10^6$ am Rand und Integralwert $2.5\cdot 10^7$.
(13)   Parameter wie (12), aber nun mit Rolloff-Faktor $r=0.5$:
Deutliche Abschwächung des Effekts; Anstieg bis ca. $5.25\cdot 10^4$ ($f$ ca. $20$ MHz), Integralwert ca. $1.07\cdot 10^6$.
(14)   Parameter wie (13), aber ohne Berücksichtigung der Ohmschen Verluste ($a_0=0$):
Nahezu gleichbleibendes Ergebnis; Anstieg bis ca. $5.15\cdot 10^4$ ($f$ ca. $20$ MHz), Integralwert ca. $1.05\cdot 10^6$.
(15)   Parameter wie (14), aber auch ohne Berücksichtigung der Querverluste ($a_1=0$):
Ebenfalls kein großer Unterschied; Anstieg bis ca. $4.74\cdot 10^4$ ($f$ ca. $20$ MHz), Integralwert ca. $0.97\cdot 10^6$.
(16)   Nur roter Parametersatz, $l=1$ km, $B=30$ MHz, $r=0.5$, Einstellung „Zweidrahtleitung $0.4$ mm“:
Anstieg bis ca. $3\cdot 10^8$ ($f$ ca. $23$ MHz), Integralwert ca. $4.55\cdot 10^9$; ohne $k_1$: $0.93\cdot 10^8$ ($f$ ca. $23$ MHz) bzw. $1.41\cdot 10^9$.

Quellenverzeichnis