Exercise 2.1Z: Distortion and Equalisation

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Kontinuierliche Spektralfunktionen

Die Grafik zeigt drei kontinuierliche Spektralfunktionen:

• ein cos²–Spektrum, das nur Anteile im Bereich $|f| < 1 \ \rm kHz$ besitzt, wobei gilt:

$$A(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot \cos^2(\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \cdot \frac{\pi}{ 2} ) ,$$

• ein Dreieckspektrum, ebenfalls begrenzt auf den Frequenzbereich $|f| < 1 \ \rm kHz$:

$$B(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot \left(1-\frac{|f|}{1 \, \rm kHz} \right),$$

• ein so genanntes Gaußspektrum:

$$C(f) = 10^{\rm -3} \ {\rm V}/{\rm Hz} \cdot {\rm e}^{-\pi (f/{1 \, \rm kHz})^2} .$$

Weiterhin betrachten wir

• ein linear verzerrendes System $S_{\rm V}$ mit $X(f)$ am Eingang und $Y(f)$ am Ausgang, sowie
• das Entzerrungssystem $S_{\rm E}$ mit dem Eingangsspektrum $Y(f)$ und dem Ausgangsspektrum $Z(f)$.

Die Frequenzgänge der beiden Systeme $S_{\rm V}$ und $S_{\rm E}$ lauten:

$$H_{\rm V}(f) = \frac{Y(f)}{X(f)} , \hspace{0.3cm}H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} .$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Klassifizierung der Verzerrungen.
• Eine vollständige Entzerrung bedeutet, dass $Z(f) = X(f)$ gilt.

Fragebogen

1

Ist mit einem linearen System die Konstellation $X(f) = A(f)$ und $Y(f) = B(f)$ möglich? Begründen Sie Ihre Antwort.

	Ja.
	Nein.

2

Es gelte weiterhin $X(f) = A(f)$ und $Y(f) = B(f)$. Ist mit einem linearen Filter $H_{\rm E}(f)$ eine vollständige Entzerrung möglich?
Wenn JA, so geben Sie bitte $H_{\rm E}(f)$ an.

	Ja.
	Nein.

3

Ist mit einem linearen System die Konstellation $X(f) = C(f)$ und $Y(f) = B(f)$ möglich? Begründen Sie Ihre Antwort.

	Ja.
	Nein.

4

Es gelte weiterhin $X(f) = C(f)$ und $Y(f) = B(f)$. Ist mit einem linearen Filter $H_{\rm E}(f)$ eine vollständige Entzerrung möglich?
Wenn JA, so geben Sie bitte $H_{\rm E}(f)$ an.

	Ja.
	Nein.

5

Ist mit einem linearen System die Konstellation $X(f) = A(f)$ und $Y(f) = C(f)$ möglich? Begründen Sie Ihre Antwort.

	Ja.
	Nein.

Musterlösung

Solution

(1)  Diese Konstellation ist möglich, da für alle $Y(f) \ne 0$ auch $X(f)$ stets von $0$ verschieden ist   ⇒   Ja.

• Für alle Frequenzen kleiner als $0.5 \ \rm kHz$ bewirkt $H_{\rm V} = B(f)/A(f) < 1$ eine Dämpfung.
• Die Frequenzen zwischen $0.5 \ \rm kHz$ und $1 \ \rm kHz$ werden dagegen durch das System angehoben werden.

(2)  Bei dieser Konstellation ist auch eine vollständige lineare Entzerrung mit $$H_{\rm E}(f) = \frac{Z(f)}{Y(f)} = \frac{A(f)}{B(f)} = \frac{1}{H_{\rm V}(f)}$$

möglich, da beide Spektren genau bis $1 \ \rm kHz$ reichen   ⇒   Ja.

(3)  Auch diese Konstellation ist möglich. Das Filter $H_{\rm V}$ muss für die Frequenzen $|f| <1 \ \rm kHz$ |aus dem Gaußspektrum ein Dreieckspektrum formen und alle Frequenzen $|f| > 1 \ \rm kHz$ unterdrücken   ⇒   Ja.

(4)  Eine vollständige Entzerrung ist hier nicht möglich. Die Anteile des Gaußspektrums, die durch $H_{\rm V}$ vollständig eliminiert wurden, können durch das lineare System nicht wieder hergestellt werden   ⇒   Nein.

(5)  Diese Konstellation ist mit einem linearen System nicht möglich, da im Spektrum $C(f) = A(f) \cdot H_{\rm V}$ keine Spektralanteile enthalten sein können, die es in $A(f)$ nicht gibt   ⇒  Nein.

Die Frage, ob es ein nichtlineares System gibt, das aus dem $\cos^2$-Spektrum ein Gaußspektrum formt, ist nicht gestellt und muss deshalb auch nicht beantwortet werden: Die Autoren glauben eher „Nein”.