Exercise 2.5: Distortion and Equalization

Trapezspektrum und zugehörige Impulsantwort

Betrachtet wird ein Nachrichtensystem mit Eingang $x(t)$ und Ausgang $y(t)$ , das durch den trapezförmigen Frequenzgang $H(f)$ gemäß der oberen Grafik vollständig beschrieben wird. Mit dem Rolloff–Faktor $r = 0.5$ sowie der äquivalenten Bandbreite $\Delta f = 16 \ \rm kHz$ lautet die dazugehörige, über die Fourierrücktransformation berechenbare Impulsantwort:

$$h(t) = \Delta f \cdot {\rm si}(\pi \cdot \Delta f \cdot t )\cdot {\rm si}(\pi \cdot r \cdot \Delta f \cdot t ) .$$

Als Eingangssignale stehen zur Verfügung:

Die Summe zweier harmonischer Schwingungen:

$$x_1(t) = {1\, \rm V} \cdot \cos(\omega_1 \cdot t) + {1\, \rm V} \cdot \sin(\omega_2 \cdot t).$$

Hierbei gelte für $\omega_1 = 2\pi \cdot 2000 \ {\rm 1/s}$ und $\omega_2 \gt \omega_1$.

Ein periodisches Dreiecksignal:

$$x_2(t) = \frac{8\, \rm V}{\pi^2} \cdot \left[\cos(\omega_0 t) + {1}/{9} \cdot \cos(3\omega_0 t) + {1}/{25} \cdot \cos(5\omega_0 t) + \hspace{0.05cm}\text{...}\right].$$

Es ist anzumerken, dass die Grundfrequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ bzw. $3\ \rm kHz$ beträgt. Zum Zeitpunkt $t = 0$ ist der Signalwert in beiden Fällen $1 \ \rm V$.

Ein Rechteckimpuls $x_3(t)$ mit Amplitude $A = 1 \ \rm V$ und Dauer $T = 1 \ \rm ms$. Da dessen Spektrum $X_3(f)$ bis ins Unendliche reicht, führt $H(f)$ hier immer zu linearen Verzerrungen.

Ab der Teilaufgabe (6) soll versucht werden, durch einen nachgeschalteten Entzerrer mit

Frequenzgang $H_{\rm E}(f)$,
Eingangssignal $y(t)$, und
Ausgangssignal $z(t)$

die eventuell von $H(f)$ erzeugten Verzerrungen zu eliminieren.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Lineare Verzerrungen.
Der im Fragenkatalog verwendete Begriff „Gesamtverzerrung” bezieht sich auf das Eingangssignal $x(t)$ und das Ausgangssignal $z(t)$.
Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Durch die Angabe eines Frequenzgangs wird bereits implizit ein lineares System vorausgesetzt, so dass nichtlineare Verzerrungen nicht auftreten können. Da $H(f)$ rein reell ist, können Phasenverzerrungen ebenfalls ausgeschlossen werden ⇒ Lösungsvorschläge 1 und 3.

(2) Das Ausgangssignal ist $y_1(t) = x_1(t)$. Somit ist das System nicht nur verzerrungsfrei, sondern kann für diese Anwendung auch als ideal bezeichnet werden. Richtig sind also die Alternativen 1 und 2.

(3) In diesem Fall erhält man das Ausgangssignal: $$y_1(t)= 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + {1}/{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$

Während der Anteil bei $f_1$ unverändert übertragen wird, ist der Sinusanteil mit $f_2$ auf ein Viertel gedämpft. Also liegen Dämpfungsverzerrungen vor ⇒ Antwort 3.

(4) Das Ausgangssignal $y_2(t)$ hat die folgende Form, wenn man die Grundfrequenz $f_0 = 3 \ \rm kHz$ berücksichtigt: $$y_2(t)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( \cos(\omega_0 t) + \frac{3}{8}\cdot \frac{1}{9} \cdot \cos(3\omega_0 t)\right) .$$

Der Faktor 3/8 beschreibt $H(f = 9 \ \rm kHz)$. Alle weiteren Spektralanteile bei $15 \ \rm kHz$, $21 \ \rm kHz$z usw. werden vom System unterdrückt.

Die stärksten Abweichungen zwischen $x_2(t)$ und $y_2(t)$ wird es bei den Dreieckspitzen geben, da sich hier die fehlenden hohen Frequenzen am stärksten auswirken. Zum Beispiel erhält man den Zeitpunkt $\underline{t= 0}$: $$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + {3}/{72}\right)= 0.844\,{\rm V} \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} \varepsilon_{\rm max} = |y_2(t=0)- x_2(t=0)| \hspace{0.15cm}\underline{= 0.156\,{\rm V}}.$$

(5) Mit der Grundfrequenz $f_0 = 2 \ \rm kHz$ sowie den Übertragungswerten $H(3f_0) = 0.75$, $H(5f_0) = 0.25$ und $H(7f_0) = 0$ ergibt sich: $$y_2(t=0)= \frac{8\,{\rm V}}{\pi^2} \left( 1 + \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{4} \cdot\frac{1}{25}\right)= 0.886\,{\rm V}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm}\varepsilon_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.114\,{\rm V}}.$$

(6) Im Bereich bis $4 \ \rm kHz$ ist $H_{\rm E}(f) = H(f) = 1$ zu setzen. Dagegen gilt im Bereich von $4 \ \rm kHz$ bis $12 \ \rm kHz$: $$H_{\rm E}(f)= \frac{1}{H(f)} = \frac{1}{1.5 \cdot [1 - f/(12\,{\rm kHz})]} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} H_{\rm E}(f = 10\,{\rm kHz})\hspace{0.15cm}\underline{= 4} .$$

Der Nennerausdruck beschreibt hierbei die Geradengleichung des Flankenabfalls.

(7) Sowohl $x_2(t)$ als auch $x_3(t)$ beinhalten auch Spektralanteile bei Frequenzen größer als $12 \ \rm kHz$. Wurden diese durch die Bandbegrenzung von $H(f)$ abgeschnitten, so können sie durch den Entzerrer nicht mehr rekonstruiert werden. Das heißt, dass nur das Signal $x_1(t)$ durch $H_{\rm E}(f)$ wieder hergestellt werden kann, allerdings nur dann, wenn $f_2 < 12 \ \rm kHz$ gilt: $$z_1(t)= 1 \cdot 1\,{\rm V}\cdot \cos(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) + 4 \cdot \frac{1}{4}\cdot 1\,{\rm V}\cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t).$$

Die jeweils ersten Faktoren geben jeweils die Verstärkungswerte von $H_{\rm E}(f)$ an ⇒ Antwort 1.

	Nichtlineare Verzerrungen.
	Dämpfungsverzerrungen.
	Phasenverzerrungen.

	Es wirkt wie ein ideales System.
	Es wirkt wie ein verzerrungsfreies System.
	Man erkennt, dass ein verzerrendes System vorliegt.

	Beim Signal $x_1(t)$ mit $f_2 = 10 \ \rm kHz$.
	Beim Signal $x_2(t)$.
	Beim Signal $x_3(t)$.