Exercise 2.6: Complex Fourier Series

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Verschiedene periodische Dreiecksignale

Wir betrachten das Signal $x(t)$, das durch die beiden Parameter $T_0$ und $T_1$ festgelegt ist, wobei stets $T_1 \leq T_0$ gelten soll. Für die komplexen Fourierkoeffizienten

$$D_n=\frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0}x(t)\cdot\rm e^{-\rm j\it n\omega_0t}\,{\rm d} \it t$$

dieses Signals erhält man nach mathematischen Umformungen:

$$D_n=\frac{T_0/T_1} {(2\pi n)^2} \cdot \bigg(1-{\rm e}^{-{\rm j} 2\pi nT_1/T_0}\bigg)-\frac{\rm j}{2\pi n}.$$

• Der in den Teilaufgaben (1) und (3) behandelte Parametersatz (mit $T_1 = T_0/2$) ist als das Signal $x(t)$ dargestellt.
• Für $T_1 = T_0$ (Teilaufgabe 2) ergibt sich die Funktion $y(t)$.
• In der Teilaufgabe (4) wird das Signal $z(t)$ betrachtet. Dessen Fourierkoeffizienten lauten:

$$A_0=1/4,\hspace{1cm} A_n=\left\{ \begin{array}{cl} {\frac{\displaystyle-2}{\displaystyle(\pi n)^2}} & {\rm f\ddot{u}r\; geradzahliges\; \it n \rm ,} \\ 0 & {\rm f\ddot{u}r\; ungeradzahliges\; \it n,} \end{array}\right. $$

$$B_n=0\; \;\; \rm{ f\ddot{u}r\; alle\; \it n.}$$

Hinweise:

• Die Aufgabe bezieht sich auf die Seite Komplexe Fourierreihe.
• Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Fragebogen

1

Berechnen Sie den Koeffizienten $D_0$ und zeigen Sie, dass dieser stets reell ist. Welcher Wert ergibt sich für $T_1 = T_0/2$, also für das Signal $x(t)$?

$D_0^{(x)}\ = \ $

2

Berechnen Sie für den Sonderfall $T_1 = T_0$ entsprechend dem Signal $y(t)$ die komplexen Fourierkoeffizienten $D_n^{(y)}$ für $n \neq 0$. Wie lauten die Koeffizienten $A_n^{(y)}$ und $B_n^{(y)}$, insbesondere für $n = 1$?

$A_1^{(y)}\ = \ $

$B_1^{(y)}\ = \ $

3

Berechnen Sie nun für das Signal $x(t)$ mit $T_1 = T_0/2$ die Koeffizienten $A_n^{(x)}$ und $B_n^{(x)}$ für $n \neq 0$. Welche Werte ergeben sich für $A_1^{(x)}$ und $B_1^{(x)}$?

$A_1^{(x)}\ = \ $

$B_1^{(x)}\ = \ $

4

Welche der folgenden Aussagen treffen bezüglich $x(t)$, $y(t)$ und $z(t)$ zu?

	Es gilt $x(t) = y(t) + z(t)$.
	Es gilt $x(t) = y(t) - z(t)$.
	Die Cosinuskoeffizienten $A_n$ von $x(t)$ und $z(t)$ sind identisch.
	Die Cosinuskoeffizientenn $A_n$ von $x(t)$ und $z(t)$ sind betragsgleich.
	Die Sinuskoeffizienten $B_n$ von $y(t)$ und $z(t)$ sind identisch.

Musterlösung

Solution

(1)  Mit dem Eulerschen Satz ist der komplexe Fourierkoeffizient $D_n$ wie folgt darstellbar:

$${\rm Re} [D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\cdot(1-\cos(2\pi nT_1/T_0)),$$

$${\rm Im}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2} \cdot \sin(2\pi nT_1/T_0)-\frac{1}{2\pi n}.$$

Mit der für kleine $\alpha$ -Werte gültigen Näherung $\text{sin}(\alpha ) \approx \alpha$ erhält man für den Imaginärteil:

$${\rm Im}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\cdot(2\pi nT_1/T_0)-\frac{1}{2\pi n}=0.$$

Für den Realteil erhält man mit $\text{cos}(\alpha) \approx 1 – \alpha^{2}/2$:

$${\rm Re}[D_n] =\frac{T_0/T_1}{(2\pi n)^2}\frac{(2\pi nT_1/T_0)^2}{2}=\frac{T_1/T_0}{2}.$$

• Für $T_1 = T_0/2$ folgt daraus der Gleichsignalkoeffizient $D_0^{(x)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0.25}$.
• Mit $T_1 = T_0$ ergibt sich $D_0^{(y)} = 0.5$.
• Ein Vergleich mit den Signalen $x(t)$ und $y(t)$ auf der Angabenseite zeigen die Richtigkeit dieser Ergebnisse.

(2)  Es wird nun $n \neq 0$ vorausgesetzt. Mit $T_1 = T_0$ erhält man für den Realteil wegen $\text{cos}(2\pi n) = 1$:

$${\rm Re}[D_n^{(y)}] =\frac{1}{(2\pi n)^2}\cdot(1-\cos(2\pi n))=0.$$

Der Imagnärteil lautet:

$${\rm Im}[D_n^{(y)}] =\frac{1}{(2\pi n)^2}\cdot(\sin(2\pi n))-\frac{1}{2\pi n}.$$

Wegen $\text{sin}(2\pi n) = 0$ folgt daraus   ${\rm Im}[D_n] =-{1}/({2\pi n}).$ Somit ist

$$D_n^{(y)}=\frac{-\rm j}{2\pi n}={1}/{2} \cdot (A_n- {\rm j} \cdot B_n).$$

Der Koeffizientenvergleich liefert $A_n^{(y)} = 0$ und $B_n^{(y)} = 1/(\pi n)$, Insbesondere sind $A_1^{(y)} \hspace{0.1cm}\underline{= 0}$ und $B_1^{(y)}\hspace{0.1cm}\underline{ \approx 0.318}$.

Wie zu erwarten war, gilt stets $B_{–n}^{(y)} = –B_n^{(y)}$.

(3)  Aus der in der Teilaufgabe (1) berechneten allgemeinen Gleichung folgt mit $T_1/T_0 = 1/2$:

$$D_n^{(x)}=\frac{2}{(2\pi n)^2}(1-\cos(\pi n))+{\rm j}\cdot \left[\frac{2\sin(\pi n)}{(2\pi n)^2}-\frac{1}{(2\pi n)}\right].$$

Daraus erhält man die Cosinuskoeffizienten

$$A_n^{(x)}={2}\cdot{\rm Re}[D_n] =\left\{ \begin{array}{cl} {\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle(\pi n)^2}} & {\rm f\ddot{u}r\; ungeradzahliges\; \it n ,} \\ 0 & {\rm f\ddot{u}r\; geradzahliges\;\it n.} \end{array}\right. $$

Die Sinuskoeffizienten lauten:

$$B_n^{(x)}=-2\cdot{\rm Im}[D_n] =\frac{1}{\pi n}.$$

Hierbei ist berücksichtigt, dass für alle ganzzahligen Werte von $n$ die Funktion $\text{sin}(n\pi ) = 0$ ist. Die jeweils ersten reellen Koeffizienten lauten

$$A_1^{(x)} = 2/\pi^{2} \hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.203},$$

$$B_1 = 1/\pi \hspace{0.1cm}\underline{\approx 0.318}.$$

(4)  Richtig sind die Lösungsvorschläge 2, 4 und 5:

• Das Signal $x(t)$ ist gleich der Differenz zwischen $y(t)$ und $z(t)$. Da $z(t)$ eine gerade und $y(t)$ eine ungerade Funktion ist, werden die Cosinuskoeffizienten $A_n$ allein durch die Koeffizienten des Signals $z(t)$ bestimmt, allerdings mit negativen Vorzeichen.
• Die Sinuskoeffizienten $B_n$ stimmen vollständig mit denen von $y(t)$ überein.
• Der Gleichsignalanteil von $x(t)$ ergibt sich aus der Differenz der beiden Gleichanteile von $y(t)$ und $z(t)$:   $A_0 = 0.5 - 0.25 = 0.25$.