Exercise 1.6Z: Two Optimal Systems

Optimalsysteme im Zeit- und Frequenzbereich

Betrachtet werden zwei binäre Übertragungssysteme A und B, die bei einem AWGN–Kanal mit Rauschleistungsdichte $N_{0}$ das gleiche Fehlerverhalten aufweisen. In beiden Fällen gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0}}\right)\hspace{0.05cm}.$$

Das System A verwendet den NRZ–Sendegrundimpuls $g_{s}(t)$ gemäß der oberen Skizze mit der Amplitude $s_{0} = 1 \ \rm V$ und der Dauer $T = 0.5\ \mu s$.
Dagegen besitzt das System B, das mit der gleichen Bitrate wie das System A arbeiten soll, ein rechteckförmiges Sendegrundimpulsspektrum:

$$G_s(f) = \left\{ \begin{array}{c} G_0 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} |f| < f_0 \hspace{0.05cm}, \\ |f| > f_0 \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Optimierung der Basisbandübertragungssysteme.

Beachten Sie bitte, dass hier die Impulsamplitude in „Volt” angegeben ist, so dass die mittlere Energie pro Bit $(E_{\rm B})$ die Einheit $\rm V^{2}/Hz$ aufweist.

Fragebogen

$R \ = \ $

$\ \rm Mbit/s$

$E_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V^{2}/Hz$

	Bei System A hat $H_{\rm E}(f)$ einen si–förmigen Verlauf.
	Bei System B ist $H_{\rm E}(f)$ ein idealer, rechteckförmiger Tiefpass.
	$H_{\rm E}(f)$ lässt sich bei System B durch einen Integrator realisieren.

$f_{0} \ = \ $

$\ \rm MHz$

$G_{0} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-6} \ \rm V/Hz$

	System A,
	System B.

Musterlösung

Solution

(1) Beide Systeme arbeiten gemäß der Angabe mit gleicher Bitrate. Der NRZ–Sendegrundimpuls von System A hat die Symboldauer $T = 0.5\ \rm \mu s$. Daraus ergibt sich für die Bitrate $R = 1/T$ $ \underline{= 2\ \rm Mbit/s}$.

(2) Die Energie des NRZ–Sendegrundimpulses von System A ergibt sich zu

$$E_{\rm B} = \int_{-\infty}^{+\infty}g_s^2 (t)\,{\rm d} t = s_0^2 \cdot T = {1\,{\rm V^2}}\cdot {0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline { = 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V^2/Hz}}\hspace{0.05cm}.$$

(3) Die beiden ersten Aussagen treffen zu:

In beiden Fällen muss $h_{\rm E}(t)$ formgleich mit $g_{s}(t)$ und $H_{\rm E}(f)$ formgleich mit $G_{s}(f)$ sein.
Somit ergibt sich beim System A eine rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ und damit ein si–förmiger Frquenzgang $H_{\rm E}(f)$. *Beim System B ist $H_{\rm E}(f)$ wie $G_{s}(f)$ rechteckförmig und damit die Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ eine si–Funktion.
Die letzte Aussage ist falsch: Ein Integrator besitzt eine rechteckförmige Impulsantwort und würde sich für die Realisierung von System A anbieten, nicht jedoch für System B.

(4) Beim System B stimmt $G_{d}(f)$ mit $G_{s}(f)$ nahezu überein. Lediglich bei der Nyquistfrequenz gibt es einen Unterschied, der sich aber für die hier angestellten Betrachtungen nicht weiter auswirkt: Während $G_{s}(f_{\rm Nyq}) = 1/2$ gilt, ist $G_{d}(f_{\rm Nyq}) = 1/4$.

Es ergibt sich also ein Nyquistsystem mit Rolloff–Faktor $r = 0$. Daraus folgt für die Nyquistfrequenz aus der Bedingung, dass die Symboldauer ebenfalls $T = 0.5\ \rm \mu s$ sein soll:

$$f_{\rm 0} = f_{\rm Nyq} = \frac{1 } {2 \cdot T} = \frac{1 } {2 \cdot 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm s}}\hspace{0.1cm}\underline {= 1\,{\rm MHz}}\hspace{0.05cm}.$$

(5) Für die Energie des Sendegrundimpulses kann auch geschrieben werden:

$$E_{\rm B} = \int_{-\infty}^{+\infty}|G_s(f)|^2 \,{\rm d} f = G_0^2 \cdot 2 f_0\hspace{0.05cm}.$$

Mit den Ergebnissen aus (2) und (4) folgt daraus:

$$G_0^2 = \frac{E_{\rm B}}{2 f_0} = \frac{5 \cdot 10^{-7}\,{\rm V^2/Hz}}{2 \cdot 10^{6}\,{\rm Hz}}= 2.5 \cdot 10^{-13}\,{\rm V^2/Hz^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}G_0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm V/Hz}} \hspace{0.05cm}.$$

(6) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

Das System A stellt auch bei Spitzenwertbegrenzung das optimale System dar.
Dagegen wäre das System B aufgrund des äußerst ungünstigen Crestfaktors hierfür denkbar ungeeignet.