Exercise 3.2Z: Two-dimensional Probability Mass Function

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Wir betrachten die Zufallsgrößen $X = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ und $Y = \{ 0, 1, 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{X,Y}(X,Y)$ gegeben ist.

• Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden.
• Man nennt eine solche manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: Marginal Probability).

Gilt $P_{XY}(X, Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen zwischen $X$ und $Y$.

Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U= \{ 0, 1 \}$ und $V= \{ 0, 1 \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:

$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
• Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in [3.2].
• Dort wurde die Zufallsgrößen $Y = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ betrachtet, allerdings mit dem Zusatz ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
• Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$ war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes ${\rm E}[P_X(X)]$ von Vorteil.

Fragebogen

1

Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$?

$P_X(0) \ = \ $

$P_X(1) \ = \ $

$P_X(2)\ = \ $

$P_X(3) \ = \ $

2

Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_Y(Y)$?

$P_Y(0) \ = \ $

$P_Y(1) \ = \ $

$P_Y(2) \ = \ $

3

Sind die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig?

	Ja,
	Nein.

4

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten $P_{UV}( U, V)$.

$P_{UV}( U = 0, V = 0) \ = \ $

$P_{UV}( U = 0, V = 1) \ = \ $

$P_{UV}( U = 1, V = 0) \ = \ $

$P_{UV}( U =1, V = 1) \ = \ $

5

Sind die Zufallsgrößen $U$ und $V$ statistisch unabhängig?

	Ja,
	Nein.

Musterlösung

Solution

(1)  Man kommt von $P_{XY}(X, Y)$ zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$, indem man alle $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:

$$P_X(X = x_{\mu}) = \sum_{y \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}, y).$$

Man erhält folgende Zahlenwerte:

$$P_X(X = 0) = 1/4+1/8+1/8 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$

$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$

$$P_X(X = 2) = 0+0+0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$$

$$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_X(X) = [ 1/2, 1/8 , 0 , 3/8 ].$$

(2)  Analog zur Teilaufgabe (1) gilt nun:

$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$

$$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 = 0.500\hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},\hspace{0.5cm}P_Y(Y = 1) = 1/8+0+0+1/8 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250},$$

$$P_Y(Y = 2) = 1/8+1/8+0+0 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_Y(Y= 0) = [ 1/2, 1/4 , 1/4 ].$$

(3)  Bei Unabhängigkeit sollte $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$ sein. Dies trifft hier nicht zu:     Antwort Nein.

(4)  Ausgehend von der linken Tabelle   ⇒   $P_{XY}(X,Y)$ kommt man zur mittlere Tabelle   ⇒   $P_{UY}(U,Y)$, indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$ zusammenfasst.

Berücksichtigt man noch $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:

$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},$$

$$P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},\hspace{0.5cm} P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},\hspace{0.5cm} P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125}.$$

(5)  Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten:   $P_U(U) = [1/2 , 1/2 ]$   bzw.   $P_V(V)=[3/4, 1/4]$.
Damit gilt $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$   ⇒   $U$ und $V$ sind statistisch unabhängig   ⇒   Antwort Ja.