Exercise 3.4: Trapezoidal Spectrum and Pulse

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Trapezspektrum und -impuls

Wir betrachten hier eine trapezförmige Spektralfunktion $X(f)$ gemäß der oberen Grafik, die durch die drei Parameter $X_0$, $f_1$ und $f_2$ vollständig beschrieben wird. Für die beiden Eckfrequenzen gelte stets $f_2 > 0$ und $0 \geq f_1 \geq f_2$.

Anstelle der Eckfrequenzen $f_1$ und $f_2$ können auch die beiden folgenden Beschreibungsgrößen verwendet werden:

• die äquivalente Bandbreite:

$$\Delta f = f_1 + f_2,$$

• der so genannte Rolloff-Faktor (im Frequenzbereich):

$$r_f = \frac{ {f_2 - f_1 }}{ {f_2 + f_1 }}.$$

Mit diesen Größen lautet die dazugehörige Zeitfunktion (siehe mittlere Grafik):

$$x( t ) = X_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi} \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm \pi} \cdot r_f \cdot \Delta f\cdot t} ).$$

Hierbei ist $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$ die so genannte Spaltfunktion.

In diesem Beispiel sollen die Zahlenwerte $X_0 = 10^{–3}\,\text{V/Hz}$ , $f_1 = 1\,\text{kHz}$ und $f_2 = 3\,\text{kHz}$ verwendet werden. Die Zeit $T = 1/\Delta f$ dient lediglich zu Normierungszwecken.

Ab Teilaufgabe (3) wird ein trapezförmiges Signal $y(t)$ betrachtet, das formgleich mit dem Spektrum $X(f)$ ist. Als Beschreibungsgrößen können hier verwendet werden:

• die Impulsamplitude $y_0 = y(t = 0)$,
• die äquivalente Impulsdauer (definiert über das flächengleiche Rechteck):

$$\Delta t = t_1 + t_2,$$

• der Rolloff-Faktor (im Zeitbereich) mit vergleichbarer Definition wie $r_f$:

$$r_t = \frac{ {t_2 - t_1 }}{ {t_2 + t_1 }}.$$

Es gelte $y_0 = 4\,\text{V}$, $\Delta t = 1\,\text{ms}$ und $r_t = 0.5$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.
• Verwenden Sie zur Lösung den Vertauschungssatz und den Ähnlichkeitssatz.

• Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden interaktiven Applets Impulse und Spektren sowie Frequenzgang und Impulsantwort überprüfen.

Fragebogen

1

Wie groß sind bei den gegebenen Parametern die äquivalente Bandbreite und der Rolloff-Faktor des Spektrums $X(f)$?

$\Delta f \ = \ $  $\text{kHz}$

$r_f \hspace{0.35cm} = \ $

2

Wie groß sind die Signalwerte von $x(t)$ bei $t = 0$, $t = T/2$ und $t = T$?

$x(t=0)\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{V}$

$x(t=T)\ = \ $  $\text{V}$

$x(t=T/2)\ = \ $  $\text{V}$

3

Wie lautet das Spektrum $Y(f)$ des Trapezimpulses mit $y_0 = 4\,\text{V}$, $\Delta t = 1\,\text{ms}$ , $r_t = 0.5$. Wie groß sind die Spektralwerte bei den drei angegebenen Frequenzen?

$Y(f = 0)\hspace{0.2cm} = \ $  $\text{mV/Hz}$

$Y(f = 0.5 \,\text{kHz})\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

$Y(f = 1.0 \,\text{kHz})\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

4

Welche Spektralwerte ergeben sich mit $y_0 = 8\,\text{V}$, $\Delta t = 0.5\,\text{ms }$ und $r_t = 0.5$?

$Y(f=0)\hspace{0.2cm}= \ $  $\text{mV/Hz}$

$Y(f=1.0 \,\text{kHz})\ = \ $  $\text{mV/Hz}$

Musterlösung

Solution

(1)  Die äquivalente Bandbreite ist per Definition gleich der Breite des flächengleichen Rechtecks:

$$\Delta f = f_1 + f_2 \hspace{0.15 cm}\underline{= 4\;{\rm{kHz}}}{\rm{.}}$$

Für den Rolloff-Faktor gilt:

$${ {r_f = }}\frac{ {f_2 - f_1 }}{ {f_2 + f_1 }}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.5}.$$

(2)  Der Maximalwert des Impulses $x(t)$ tritt zum Zeitpunkt $t = 0$ auf:

$$x_0 = x(t = 0) = X_0 \cdot \Delta f \hspace{0.15 cm}\underline{= 4\, \text{V}}.$$

Zum Zeitpunkt $t = T = 1/\Delta f$ gilt aufgrund von $\text{si}(\pi) = 0$:

$$x( {t = T} ) = x_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\rm{\pi }} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { { {\rm{\pi }}}/{2}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}.$$

Auch bei allen Vielfachen von $T$ weist $x(t)$ Nulldurchgänge auf. Zum Zeitpunkt $t = T/2$ gilt:

$$x( {t = T/2} ) = x_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { { {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( { { {\rm{\pi }}}/{4}} ) = x_0 \cdot \frac{ { 1 \cdot \sqrt 2 /2}}{ { {\rm{\pi /}}2 \cdot {\rm{\pi /4}}}} = x_0 \cdot \frac{ {4 \cdot \sqrt 2 }}{ { {\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

(3)  Die zum trapezförmigen Spektrum $X(f)$ zugehörige Zeitfunktion lautet entsprechend der Angabe:

$$x( t ) = X_0 \cdot \Delta f \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot \Delta f \cdot t} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot r_f \cdot \Delta f \cdot t} ).$$

Da sowohl $X(f)$ als auch $x(t)$ reell sind und zudem $y(t)$ formgleich mit $X(f)$ ist, erhält man unter Berücksichtigung aller Äquivalenzen für die Spektralfunktion des Trapezimpulses:

$$Y( f ) = y_0 \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }} \cdot r_t \cdot \Delta t \cdot f} ).$$

Insbesondere gilt:

$$Y( {f = 0} ) = y_0 \cdot \Delta t \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{,}}$$

$$Y( {f = 0.5\;{\rm{kHz}}} ) = y_0 \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{4}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{,}}$$

$$Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = y_0 \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {\rm{\pi }} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0}\;{\rm{.}}$$

(4)  Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ wird nicht verändert: $Y_0 = y_0 \cdot \Delta t \hspace{0.15 cm}\underline{= 4 \,\rm{mV/Hz}}$. Da nun aber die Zeitfunktion nur halb so breit ist, verbreitert sich das Spektrum um den Faktor 2:

$$Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = Y_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{4}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 2.293\,{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

In der Teilaufgabe (3) ist dieser Spektralwert bei der Frequenz $f = 0.5\,\rm{kHz}$ aufgetreten.