Exercise 4.06: Optimal Decision Boundaries
$N = 2, \ M = 2$
Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem $(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D–Signalraumkonstellation $(N = 2)$ festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten $m_0$ und $m_1$ direkt gekoppelt sind, gilt:
- $$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0 \hspace{0.05cm},$$
- $$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm} \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1 \hspace{0.05cm}.$$
Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen $I_0 ⇔ m_0$ und $I_1 ⇔ m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
- Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gilt
- $${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$
- Für die Teilaufgaben (4) und (5) soll dagegen gelten:
- $${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 1.5 \hspace{0.05cm}.$$
Bei AWGN–Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$ ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors ($\rho_1, \rho_2$):
- $$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} \boldsymbol{ \rho } = (\rho_1 , \hspace{0.1cm}\rho_2 )\hspace{0.05cm}.$$
Zusätzlich sind in der Grafik zwei Empfangswerte
- $$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5) $$
eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen $I_0$ (und damit der Nachricht $m_0$) oder $I_1$ (Nachricht $m_1$) zugeordnet werden sollten.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit.
- Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden.
Fragebogen
Musterlösung
- $$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
Mit den gegebenen Vektorwerten, also den Zahlenwerten
- $$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 4^2 + 1^2 = 17\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} || \boldsymbol{ s }_0||^2 = 1^2 + 5^2 = 26\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0 = (3,\hspace{0.1cm}-4) \hspace{0.05cm}$$
erhält man folgende Gleichung für die Entscheidungsgrenzen:
- $$3 \cdot \rho_1 - 4 \cdot \rho_2 = ({17-26})/{2} = - {9}/{2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 \hspace{0.05cm}.$$
Die Entscheidungsgrenze liegt in der Mitte zwischen $s_0$ und $s_1$ und verläuft um $90^\circ$ gedreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den beiden Symbolen. Sie geht durch den Punkt $(2.5, \ \, 3)$. Richtig ist also der erste Lösungsvorschlag.
Der Vorschlag 2 beschreibt dagegen die Verbindungsgerade selbst und $\rho_2 = 3$ ist eine Horizontale.
(2) Das Entscheidungsgebiet $I_1$ sollte natürlich den Punkt $s_1$ beinhalten ⇒ Gebiet unterhalb der Entscheidungsgeraden. Punkt $A = (1.5, \ \, 2)$ gehört zu diesem Entscheidungsgebiet, wie aus der Grafik hervorgeht. Rechnerisch lässt sich dies zeigen, da die Entscheidungsgerade zum Beispiel durch den Punkt $(1.5, \ \, 2.25)$ geht und somit $(1.5, \ \, 2)$ unterhalb der Entscheidungsgeraden liegt. Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.
(3) Die Entscheidungsgerade geht auch durch den Punkt $(3, \ \, 3.375)$. $B = (3, \ \, 3.5)$ liegt oberhalb und gehört somit zum Entscheidungsgebiet $I_0$ entsprechend Lösungsvorschlag 1.
(4) Entsprechend der Gleichung auf dem Angabenblatt und den Berechnungen zur Teilaufgabe (1) gilt nun:
- $$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
Mit $|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 17$, $|| \boldsymbol{ s }_0||^2 = 26$, $ \boldsymbol{ s }_1 \, –\boldsymbol{ s }_0 = (3, \ \, –4)$ erhält man:
- $$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - K /8 \hspace{0.05cm}.$$
Hierbei ist folgende Abkürzung verwendet worden:
- $$K = 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} = 2 \cdot 1^2 \cdot 1.5 = 3 \hspace{0.05cm}.$$
Daraus folgt weiter:
- $$\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - 3 /8 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/4 \hspace{0.05cm}.$$
Die Entscheidungsgerade ist um $3/8$ nach unten verschoben (schwarze Kurve, mit „$K = 3$” bezeichnet in der Grafik). Richtig ist also der Lösungsvorschlag 2.
- Die erste Gleichung beschreibt die optimale Entscheidungsgrenze für gleichwahrscheinliche Symbole ($K = 0$, grau gestrichelt).
- Die dritte Gleichung gilt für $K = \, –3$. Diese ergibt sich mit $\sigma_n^2 = 1$ für die Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_1) \approx 0.817$ und ${\rm Pr}(m_0) \approx 0.138$ (grüne Kurve).
- Die violette Gerade ergibt sich mit $K = 9$, also zum Beispiel bei gleichen Wahrscheinlichkeiten wie für die schwarze Kurve, aber nun mit der Varianz $\sigma_n^2 = 3$.
(5) Bereits aus obiger Grafik erkennt man, dass nun sowohl $A$ als auch $B$ zur Entscheidungsregion $I_0$ gehören. Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 3.
