Exercise 4.3: Different Frequencies

Vorgegebene Signalmenge $\{s_i(t)\}$

In der Grafik sind $M = 5$ verschiedene Signale $s_i(t)$ dargestellt. Entgegen der Nomenklatur im Theorieteil sind für die Laufvariable $i$ die Werte $0, \ \text{...} \ , M–1$ möglich. Anzumerken ist:

Alle Signale sind zeitbegrenzt auf $0$ bis $T$; damit ist auch die Energie aller Signale endlich.
Das Signal $s_1(t)$ hat die Periodendauer $T_0 = T$. Die Frequenz ist damit gleich $f_0 = 1/T$.
Die Signale $s_i(t)$, $i ≠ 0$, sind Cosinusschwingungen mit der Frequenz $i \cdot f_0$. Dagegen ist $s_0(t)$ zwischen $0$ und $T$ konstant.
Der Maximalwert aller Signale ist $A$ und es gilt $|s_i(t)| ≤ A$.

Gesucht sind in dieser Aufgabe die $N$ Basisfunktionen, die hier entgegen der bisherigen Beschreibung im Theorieteil mit $j = 0, \ \text{...} \ , N–1$ durchnummeriert werden.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Signale, Basisfunktionen und Vektorräume.

Fragebogen

	$s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi \cdot i \cdot t/T)}$.
	$s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi \cdot i \cdot t/T)}$ für $0 ≤ t < T$, sonst $0$.
	$s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi t/T \, – \, i \cdot \pi/2)}$ für $0 ≤ t < T$, sonst $0$.

$N \ = \ $

	$\varphi_0(t) = s_0(t)$,
	$\varphi_0(t) = \sqrt{1/T}$ für $0 ≤ t < T$, außerhalb $0$.
	$\varphi_0(t) = \sqrt{2/T}$ für $0 ≤ t < T$, außerhalb $0$.

	$\varphi_1(t) = s_1(t)$,
	$\varphi_1(t) = \sqrt{1/T} \cdot \cos {(2\pi t/T)}$ für $0 ≤ t < T$, außerhalb $0$.
	$\varphi_1(t) =\sqrt{2/T} \cdot \cos {(2\pi t/T)}$ für $0 ≤ t < T$, außerhalb $0$.

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist der Lösungsvorchlag 2:

Dieser berücksichtigt die unterschiedlichen Frequenzen und die Begrenzung auf den Bereich $0 ≤ t < T$.
Die Signale $s_i(t)$ gemäß Vorschlag 3 unterscheiden sich dagegen nicht bezüglich der Frequenz, sondern weisen unterschiedliche Phasenlagen auf.

(2) Die energiebegrenzten Signale $s_i(t) = A \cdot \cos {(2\pi \cdot i \cdot t/T)}$ sind alle zueinander orthogonal, das heißt, dass das innere Produkt zweier Signale $s_i(t)$ und $s_k(t)$ mit $i ≠ k$ stets $0$ ist :

$$< \hspace{-0.1cm}s_i(t), \hspace{0.1cm} s_k(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} A^2 \cdot \int_{0}^{T}\cos(2\pi \cdot i \cdot t/T) \cdot \cos(2\pi \cdot k \cdot t/T)\,{\rm d} t $$

$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} < \hspace{-0.1cm}s_i(t), \hspace{0.1cm} s_k(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm} {A^2}/{2} \cdot \int_{0}^{T}\cos(2\pi (i-k) t/T) \,{\rm d} t + \frac{A^2}{2} \cdot \int_{0}^{T}\cos(2\pi (i+k) t/T) \,{\rm d} t \hspace{0.05cm}.$$

Mit $i ∈ \{0, \ \text{...} \ , 4\}$ und $k ∈ \{0, \ \text{...}\ , 4\}$ sowie $i ≠ j$ ist sowohl $i \, – k$ ganzzahlig ungleich $0$, ebenso die Summe $i + k$. Dadurch liefern beide Integrale das Ergebnis $0$:

$$< \hspace{-0.1cm}s_i(t), \hspace{0.1cm} s_k(t)\hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} \hspace{-0.1cm}= 0 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \hspace{0.05cm}\hspace{0.15cm}\underline {N = M = 5} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Die Energie des innerhalb $T$ konstanten Signals $s_0(t)$ ist gleich

$$E_0 = ||s_0(t)||^2 = A^2 \cdot T \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} ||s_0(t)|| = A \cdot \sqrt{T} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_0 (t) = \frac{s_0(t)}{||s_0(t)||} = \left\{ \begin{array}{c} 1/\sqrt{T} \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$

Richtig ist demzufolge der Lösungsvorschlag 2.

(4) Richtig ist hier der letzte Lösungsvorschlag wegen

$$E_1 = ||s_1(t)||^2 = \frac{A^2 \cdot T}{2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} ||s_1(t)|| = A \cdot \sqrt{{T}/{2}} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \varphi_1 (t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||} = \left\{ \begin{array}{c} \sqrt{2/T} \cdot \cos(2\pi t/T) \\ 0 \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < T \hspace{0.05cm}, \\ {\rm sonst}\hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$