Error Probability of Direct-Sequence Spread Spectrum Modulation

1 Das CDMA–System IS–95
2 Systemkonfigurationen für minimale Fehlerwahrscheinlichkeit
3 Zwei Teilnehmer mit M–Sequenz–Spreizung
4 Asynchroner CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen
5 Bitfehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal
6 Einfluss einer zusätzlichen Verwürfelung der Spreizfolge
7 Untersuchungen zum RAKE–Empfänger
8 Prinzip des RAKE–Empfängers
9 Aufgaben zum Kapitel
10 Quellenverzeichnis

Das CDMA–System IS–95

Die Eigenschaften der PN–Modulation sollen nun am Beispiel des amerikanischen Mobilfunkstandards IS–95, der sich aus den Arbeiten der Fa. Qualcomm Inc. und insbesondere von Andrew J. Viterbi ergeben hat, quantitativ angegeben werden. In etwas vereinfachter Darstellung – ohne Faltungscodierer, Interleaver und De–Interleaver sowie dem Viterbi–Decoder beim Empfänger – ergibt sich das folgende Blockschaltbild.

Betrachtetes Blockschaltbild für dieses Kapitel

Es gelten folgende Aussagen:

Das Spreizsignal $c(t)$ bewirkt eine Bandspreizung um den Spreizfaktor $J$, wobei auf den nächsten Seiten sowohl Walsh–Funktionen als auch M–Sequenzen betrachtet werden. Die Bandstauchung beim Empfänger benutzt phasensynchron die gleiche Spreizfolge.
Das zusätzliche $±1$–Signal $w(t)$ ermöglicht eine zusätzliche Verwürfelung, bewirkt jedoch keine weitere Bandspreizung. Die Rechteckdauer von $w(t)$ ist genau so groß wie die Rechteckdauer von $c(t)$. Man nennt $T_c$ die Chipdauer.
Ohne Bandspreizung und Verwürfelung (bzw. mit $J = 1$) entspricht die Übertragungskette der BPSK–Modulation. Das Matched–Filter ist durch die Variante Integrate & Dump realisiert, so dass es sich um ein optimales System handelt.
Mit $H_{\rm K}(f) = 1$ ergibt sich das AWGN–Kanalmodell mit dem gaußverteilten Rauschsignal $n(t)$ und der AWGN–Kenngröße $E_{\rm B}/N_0$. Die zusätzliche Störkomponente $i(t)$ fasst die Interferenzen der anderen Teilnehmer zusammen.
Bei einem Mehrwegekanal (ein Hauptpfad und ein oder mehrere Nebenpfade) können die entstehenden Impulsinterferenzen durch den Einsatz eines RAKE–Empfängers vermindert werden.

Alle nachfolgenden Ergebnisse wurden mit dem Simulationsprogramm „CDMA” ermittelt. Dieses wurde an der TU München im Praktikum „Simulation digitaler Übertragungssysteme” [Söd01]^[1] eingesetzt. Dieser Versuch basiert auf

der Lehrsoftware CDMA ⇒ Link verweist auf die ZIP-Version des Programms und
der zugehörigen Praktikumsanleitung ⇒ Link verweist auf die PDF-Version.

Systemkonfigurationen für minimale Fehlerwahrscheinlichkeit

Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven beim AWGN–Kanal

Die Grafik zeigt als durchgezogene blaue Kurve die Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei BPSK in Abhängigkeit des logarithmierten AWGN–Parameters $E_{\rm B}/N_0$ (Signalenergie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte). Es gilt mit der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}(x)$:

$$p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \sqrt{{2E_{\rm B}}/{N_{\rm 0}}}\hspace{0.05cm}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Beispielsweise ergibt sich für $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$ näherungsweise die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = \rm 2 · 10^{–4}$.

Den gleichen minimalen Wert liefert eine Systemsimulation (rote Punkte) unter folgenden Bedingungen:

PN–Modulation, egal ob mit einer M–Sequenz oder mit einer Walsh–Funktion, bei beliebigem Spreizgrad $J$, falls nur ein Teilnehmer aktiv ist;
synchroner CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen, auch wenn im gleichen Frequenzband andere Nutzer (maximal $J -1$) aktiv sind;
auf den RAKE–Empfänger kann verzichtet werden, da beim AWGN–Kanal keine Impulsinterferenzen auftreten.

Zwei Teilnehmer mit M–Sequenz–Spreizung

Wir betrachten den störenden Einfluss eines zweiten Teilnehmers auf die Fehlerwahrscheinlichkeit von Teilnehmer 1.

Die Spreizung erfolgt mittels M–Sequenzen, die im Gegensatz zu den Walsh–Funktionen nicht zueinander orthogonal sind.
Weiter gilt der Spreizfaktor $J = 15$. Die Oktalkennungen der beiden beteiligten PN–Spreizfolgen seien (23) und (31).

Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei Bandspreizung $(J = 15)$ mit M–Sequenz

Aus diesem Diagramm kann zum Beispiel abgelesen werden:

Bei nur einem Teilnehmer ergibt sich die blaue durchgezogene Kurve. Der zweite (taktsynchrone) Teilnehmer erhöht die Fehlerwahrscheinlichkeit gravierend, zum Beispiel für $10 · \lg \ (E_{\rm B}/N_0) = 8 \ \rm dB$ von $p_{\rm B} = 2· 10^{–4} = 0.02\%$ auf $p_{\rm B} =1.5\%$ (braune Markierungen, $τ = 0$).
Durch einen Phasenversatz der PN–Sequenzen gegeneinander um Vielfache der Chipdauer kann man beträchtliche Verbesserungen erzielen. Verschiebt man beispielsweise die PN–Sequenz (31) des interferierenden Teilnehmers um $τ = 2T_c$ nach rechts (rote Markierungen), so erhält man statt $1.5\%$ Fehler nur mehr die Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B} = 0.034\%$.

PKKF der PN–Sequenzen (23) und (31)

Die Ergebnisse werden verständlich, wenn man die periodische KKF $φ_\text{23, 31}(λ \cdot T_c)$ zwischen den Sequenzen (23) und (31) betrachtet.

Je kleiner der PKKF–Betrag bei $\tau$ ist, desto kleiner wird $p_{\rm B}$.
Man könnte also auch die zweite PN–Sequenz um sechs oder acht Chipdauern nach rechts oder um fünf, sechs oder sieben Chipdauern nach links verschieben (rote Punkte).
In all diesen Fällen ist der PKKF–Betrag$|φ_\text{23, 31}(2 T_c)| = 1/15$ kleiner im Vergleich zu

$\ \ |φ_\text{23, 31}(0)| = 7/15$ (ockerfarbene Punkte) ,
$\ \ |φ_\text{23, 31}(3 T_c)| = 5/15$ (grüne Punkte) sowie
$\ \ |φ_\text{23, 31}(T_c)| = 3/15$ (violette Punkte).

Asynchroner CDMA–Betrieb mit Walsh–Funktionen

Auf der Seite Systemkonfigurationen für minimaleFehlerwahrscheinlichkeit wurde gezeigt, dass bei Verwendung von orthogonalen Walsh–Funktionen die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ auch bei Vorhandensein anderer CDMA–Teilnehmer gegenüber der BPSK–Vergleichskurve (System ohne Bandspreizung) nicht verändert wird, so lange alle Teilnehmer synchron arbeiten.

Diese Voraussetzung ist im Mobilfunk im allgemeinen für den Downlink (der Sender ist eine einzige Basisstation) erfüllt,
nicht jedoch im Uplink (Sender sind viele mobile Endgeräte).

Bitfehlerwahrscheinlichkeit bei asynchronem CDMA–Betrieb mit Walsh-Spreizfunktionen

Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven für den jeweils ungünstigsten Phasenversatz der Spreizfolgen von betrachtetem Teilnehmer und störendem Teilnehmer, jeweils mit Spreizgrad $J = 16$. Der erste Teilnehmer benutze dabei stets die Walsh–Funktion Nr. 15. Das Ergebnis kann wie folgt zusammengefasst werden:

Benutzt der störende Teilnehmer die Walsh–Funktion Nr. 1, so macht sich ein Phasenversatz nicht negativ bemerkbar, da für alle $λ$–Werte die PKKF $φ_\text{1, 15}(λ · T_c) = 0$ ist.
Verwendet dagegen der zweite Teilnehmer die Walsh–Funktion Nr. 14 (oder jede andere mit der Kenn-Nummer größer/gleich 8), so ergibt sich durch einen Phasenversatz um eine Chipdauer eine enorme Verschlechterung. Es gilt zwar $φ_\text{14, 15}(0) = 0$, aber für $λ = 1$ hat diese PKKF mit $φ_\text{14, 15}(T_c) = 3/4$ einen sehr großen Wert.

Bitfehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal

Für den Rest dieses Kapitels „Fehlerwahrscheinlichkeit der PN–Modulation” setzen wir voraus:

Zur Bandspreizung werden Walsh–Funktionen verwendet. Der Spreizfaktor ist jeweils $J = 16$. Insbesondere betrachten wir die Funktionen:

$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(1)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$

$$ \langle w_\nu^{\hspace{0.12cm}(2)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm},$$

$$ \langle w_\nu^{(12)}\rangle = {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {-\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1}\hspace{0.15cm} {+\hspace{-0.05cm}1} \hspace{0.05cm}.$$

Aktiv ist jeweils nur ein Teilnehmer ⇒ Interferenzen durch andere Nutzer treten nicht auf.
Der Kanal enthält neben dem AWGN–Rauschen noch eine Mehrwegekomponente enthält: Der Hauptpfad wird um den Faktor $0.8$ gedämpft. Daneben gibt es ein Echo im Abstand $2T_c$ mit dem Gewicht $0.6$. Die Kanalimpulsantwort lautet in diesem Fall: $h_{\rm K}(t) = 0.8 \cdot \delta (t) + 0.6 \cdot \delta (t - 2 T_c).$

CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal

Die Grafik zeigt Bitfehlerwahrscheinlichkeitskurven. Diese zeigen folgende Sachverhalte:

Die Walsh–Funktion Nr. 2 (braune Punkte) ist für den oben definierten Zweiwegekanalanal denkbar ungeeignet, da sich hier das bandgespreizte Signal $b(t)$ aufgrund des Echos im Abstand $2T_c$ nahezu auslöscht. Dies erkennt man auch am PAKF–Wert $φ_{22}(τ = 2T_c) = -1$.
Die Walsh–Funktion Nr. 1 (gelbe Punkte) ist dagegen bei diesem Kanal sehr gut geeignet. Das Echosignal überlagert sich dem Signal auf dem Hauptfeld konstruktiv und $b(t)$ wird nahezu verdoppelt. Das sehr gute Ergebnis lässt sich durch den PAKF–Wert $φ_{11}(τ = 2T_c) = +1$ erklären.
Für die Walsh–Funktion Nr. 12 (rote Punkte) gleichen sich die konstruktiven und destruktiven Überlagerungen nahezu aus, so dass die Fehlerwahrscheinlichkeit in etwa auf der BPSK–Kurve zu liegen kommt. Auch alle anderen Walsh–Funktionen liegen zwischen den braunen und gelben Grenzkurven.

$\text{Fazit:}$

Der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr. 1 hat beim betrachteteten Kanal mit der Echoverzögerung $2 \cdot T_c$ deutlich bessere Bedingungen als der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr. 2.
Bei einem Kanal mit der Echoverzögerung $T_c$ hätte dagegen der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr. 2 deutlich bessere Bedingungen als der Teilnehmer mit der Walsh–Funktion Nr. 1.
Da aber ein Netzbetreiber für alle Teilnehmer bei beliebigem Kanal gleiche Bedingungen bereitstellen muss , ist die hier betrachtete Konfiguration für den praktischen Betrieb ungeeignet.
Nachfolgend wird gezeigt, wie man für alle Teilnehmer annähernd gleiche Bedingungen schaffen kann.

Einfluss einer zusätzlichen Verwürfelung der Spreizfolge

CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeit beim Zweiwegekanal,
zusätzliche Verwürfelung

Eine Möglichkeit, die Qualität für die einzelnen Teilnehmer auch beim Zweiwegekanal zu egalisieren, bietet die zusätzliche Verwürfelung mit $w(t)$ entsprechend dem vorne gezeigten Blockschaltbild. Für die rechts dargestellte Grafik wird vorausgesetzt:

Die beteiligten Benutzer verwenden zur Bandspreizung unterschiedliche Walsh–Funktionen, alle mit dem Spreizfaktor $J = 16$.
Jeder Benutzer wird zusätzlich durch eine M–Sequenz der Periodenlänge $P = 63$ (Registergrad $G = 6$) verwürfelt.
Die eingezeichneten Punkte gelten für die Walsh–Funktion Nr. 12 als Spreizsignal $c(t)$ und eine zusätzliche Verwürfelung $w(t)$ durch die M–Sequenz mit Oktalkennung (163).

Gegenüber dem reinen AWGN–Kanal ergibt sich beim betrachteten Zweiwegekanal mit den Koeffizienten $0.8$ und $0.6$ eine Degradation von etwa $2 \ \rm dB$ bis $3 \ \rm dB$ ⇒ horizontaler Abstand zwischen den eingezeichneten Punkten und der blauen Vergleichskurve.

Anmerkung: Die Ergebnisse für andere Walsh–Funktionen, zum Beispiel Nr. 1 oder Nr. 2 unterscheiden sich gegenüber dieser Skizze (gültig für die Walsh–Funktion Nr. 12) innerhalb der Zeichengenauigkeit nur unwesentlich.

$\text{Fazit:}$ Die zusätzliche Verwürfelung mit $w(t)$ dient nur dazu, bei einem Kanal mit Echoverzerrungen für alle Teilnehmer gleiche Bedingungen zu schaffen. $w(t)$ bewirkt also keine zusätzliche Bandspreizung.

Alle Teilnehmer erleben somit durch ein Echo die gleiche Degradation, verglichen mit dem idealen Kanal. Andernfalls (ohne diese Verwürfelung) würden sich die Kunden mit schlechten Bedingungen beim Betreiber beschweren und eventuell Regressansprüche stellen, während die anderen Kunden die für sie günstige konstruktive Echo–Überlagerung vielleicht erfreut, aber sicher stillschweigend hinnehmen würden.

Untersuchungen zum RAKE–Empfänger

Betrachten wir abschließend die Verbesserung durch die Verwendung eines RAKE–Empfängers, die durch die folgende Grafik verdeutlicht wird. Damit wird beispielsweise für $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$ die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von $\rm 6 · 10^{–3}$ auf $\rm 5 · 10^{-4}$ herabgesetzt.

CDMA–Fehlerwahrscheinlichkeitskurven mit und ohne RAKE–Empfänger

Anzumerken ist, dass für dieses Diagramm die genau gleichen Voraussetzungen gelten wie für die Grafik im letzten Abschnitt:

Bandspreizung mit $J =16$ und Walsh–Funktion Nr. 12,
zusätzliche Verwürfelung durch die M–Sequenz $\rm (163)_{oktal}$,
Zweiwegekanal mit $h_{\rm K}(t) = 0.8 · δ(t) + 0.6 · δ(t - 2T_c)$.

Der Grund für diese Verbesserung ist die kleinere Varianz ${σ_d}^2$ der Detektionsnutzabtastwerte, wie aus den rechts skizzierten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_d(d)$ hervorgeht (gültig für $10 · \lg \ E_{\rm B}/N_0 = 8 \ \rm dB$).

Das kleinere $σ_d$ ist allein darauf zurückzuführen, dass der RAKE–Empfänger die Impulsinterferenzen bekämpft.
Der Anteil des AWGN–Rauschens $n(t)$ an der Gesamtvarianz ${σ_d}^2$ (der zweite Anteil ist auf die Impulsinterferenzen zurückzuführen) hängt allein von der Abszisse $(E_{\rm B}/N_0)$ ab und ist mit und ohne RAKE gleich groß.

Prinzip des RAKE–Empfängers

Zweiwegekanal und zugehöriger RAKE–Empfänger

Das RAKE–Prinzip wird durch die nebenstehende Grafik verdeutlicht. Der Zweiwegekanal besteht aus

dem direkten Pfad mit Verzögerungszeit $τ_0$ und Gewicht $h_0$,
einem Echo mit Verzögerung $τ_1 > τ_0$ und Gewicht $h_1$.

Beide Amplitudenkoeffizienten seien reell. Als Normierungsbedingung gelte im Folgenden ${h_0}^2 + {h_1}^2 = 1$.

Aufgabe des RAKE–Empfängers ist es, die Signalenergien der beiden Pfade (im allgemeinen: aller Pfade) auf einen einzigen Zeitpunkt zu konzentrieren. Er arbeitet demnach wie eine Harke für den Garten, was auch die deutsche Übersetzung für „RAKE” ist.

Legt man einen Diracimpuls zur Zeit $t = 0$ an den Kanaleingang an ⇒ $s(t) = δ(t)$, so gibt es am Ausgang des RAKE–Empfängers drei Diracimpulse entsprechend der Gleichung

$$b(t) = h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_0) + (h_0^2 + h_1^2) \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) + h_0 \cdot h_1\cdot \delta (t - 2 \tau_1) \hspace{0.05cm}.$$

Die Signalenergie konzentriert sich im Ausgangssignal auf den Zeitpunkt $τ_0 + τ_1$. Von den insgesamt vier Wegen tragen zwei dazu bei.
Die Diracfunktionen bei $2τ_0$ und $2τ_1$ bewirken zwar Impulsinterferenzen. Ihre Gewichte $(h_0 · h_1)$ sind aber deutlich kleiner als das Gewicht des Hauptpfades $({h_0}^2 + {h_1}^2)$.

$\text{Beispiel 1:}$

Mit den Kanalparametern $h_0 = 0.8$ und $h_1 = 0.6$ beinhaltet der Hauptpfad des Kanals (mit Gewicht $h_0$) nur $\rm 0.8^2/(0.8^2 + 0.6^2) = 64\%$ der gesamten Signalenergie.
Mit RAKE–Empfänger und den gleichen Gewichten lautet die obige Gleichung

$$b(t) =0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_0) + 1.0 \cdot \delta (t - \tau_0- \tau_1) + 0.48 \cdot \delta (t - 2 \tau_1) \hspace{0.05cm}.$$

Der Anteil des Hauptpfades an der Gesamtenergie beträgt nun $\rm 1^2/(1^2 + 0.48^2 + 0.48^2) ≈ 68\%$.