Exercise 3.3Z: Rectangular Pulse and Dirac Delta

Verschiedene Rechteckimpulse

Wir betrachten hier eine Vielzahl von symmetrischen Rechteckfunktionen $x_k(t)$. Die einzelnen Rechtecke unterscheiden sich durch unterschiedliche Amplituden (Höhen)

$$A_k = k \cdot A$$

und unterschiedliche Impulsdauern (Breiten)

$$T_k = T/k.$$

Hierbei sei $k$ ein beliebiger positiver Wert.

Der im Bild rot dargestellte Rechteckimpuls $x_1(t)$ hat die Amplitude $A_1 = {A} = 2 \,\text{V}$ und die Dauer $T_1 = {T} = 500 \,µ\text{s}$.
Der blau gezeichnete Impuls $x_2(t)$ ist halb so breit ⇒ $T_2 =250 \,µ\text{s}$, aber doppelt so hoch ⇒ $A_2 = 4 \text{ V}$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Sonderfälle impulsartiger Signale.

Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden interaktiven Applets Impulse und Spektren sowie Frequenzgang und Impulsantwort überprüfen.

Fragebogen

	Der Spektralwert $X_1(f = 0)$ ist gleich $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
	$X_1(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $2 \,\text{kHz}$.
	$X_1(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $4 \,\text{kHz}$.

	Der Spektralwert $X_2(f = 0)$ ist gleich $10^{–3} \,\text{V/Hz}$.
	$X_2(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $2\, \text{kHz}$.
	$X_2(f)$ besitzt Nullstellen im Abstand von $4 \,\text{kHz}$.

$f_{10} \ = \ $

$\text{kHz}$

$X_{10}(f = 2 \text{kHz})\ = \ $

$\text{mV/Hz}$

$X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\ = \ $

$\text{mV/Hz}$

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 2:

Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist nach dem ersten Fourierintegral stets gleich der Fläche unter der Zeitfunktion:

$$X( f ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )} \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j2\pi }}ft} \hspace{0.1cm} {\rm d}t \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} \;X( {f = 0} ) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( t )}\hspace{0.1cm} {\rm d}t.$$

Im vorliegenden Fall ist die Impulsfläche stets $A \cdot T = 10^{–3} \,\text{Vs} = 1\, \text{mV/Hz}$.
Wegen $T_1 = 500 \,µ\text{s}$ weist das Spektrum $X_1(f)$ Nulldurchgänge im Abstand $f_1 = 1/T_1 = 2 \,\text{kHz}$ auf.

(2) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Aufgrund gleicher Impulsflächen wird der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ nicht verändert.
Die äquidistanten Nulldurchgänge treten nun im Abstand $f_2 = 1/T_2 = 4 \,\text{kHz}$ auf.

(3) Nullstellen gibt es bei Vielfachen von $f_{10} = 1/T_{10} = 20 \,\text{kHz}$, und die Spektralfunktion lautet:

$$X_{10} ( f ) = X_0 \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}f/f_{10} } ).$$

Bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ ist das Argument der $\rm si$-Funktion gleich $\pi/10$ (oder $18^{\circ}$):

$$X_{10} ( {f = 2\;{\rm{kHz}}}) = 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}} \cdot \frac{{\sin ( {18^\circ } )}}{{{\rm{\pi /10}}}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.984 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

(4) Im Grenzfall $k \rightarrow \infty$ geht der dann unendlich hohe und unendlich schmale Rechteckimpuls in den Diracimpuls über. Dessen Spektrum ist für alle Frequenzen konstant. Damit gilt auch bei der Frequenz $f = 2 \,\text{kHz}$ der Spektralwert $X_{\infty}(f = 2 \,\text{kHz})\underline{=1 \text{ mV/Hz}}$.