Exercise 4.11: C Program "acf1"

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C-Programm 1 zur AKF–Berechnung

Sie sehen nebenstehend das C–Programm „akf1” zur Berechnung der diskreten AKF-Werte $\varphi_x(k)$ mit dem Index $k = 0$, ... , $l$. Hierzu ist Folgendes zu bemerken:

• Der an das Programm übergebene Long–Wert sei $l = 10$. Die AKF-Werte $\varphi_x(0)$, ... , $\varphi_x(10)$ werden mit dem Float-Feld $\rm AKF\big[ \ \big]$ an das aufrufende Programm zurückgegeben. In den Zeilen 7 und 8 des rechts anggebenen Programms wird dieses Feld mit Nullen vorbelegt.

• Die zu analysierenden Zufallsgrößen $x_\nu$ werden mit der Float-Funktion $x( \ )$ erzeugt (siehe Zeile 4). Diese Funktion wird insgesamt $N + l + 1 = 10011$ mal aufgerufen (Zeile 9 und 18).

• Im Gegensatz zu dem im Theoriteil angegebenen Algorithmus, der im Programm „akf2” von Aufgabe 4.11Z direkt umgesetzt ist, benötigt man hier ein Hilfsfeld ${\rm H}\big[ \ \big]$ mit nur $l + 1 = 11$ Speicherelementen.

• Vor Beginn des eigentlichen Berechnungsalgorithmus (Zeile 11 bis 21) stehen in den elf Speicherzellen von ${\rm H}\big[ \ \big]$ die Zufallswerte $x_1$, ... , $x_{11}$.

• Die äußere Schleife mit der Laufvariablen $z$ (rot markiert) wird $N$-mal durchlaufen.
• In der inneren Schleife (weiß markiert) werden mit dem Laufindex $k = 0$, ... , $l$ alle Speicherzellen des Feldes ${\rm AKF}\big[\hspace{0.03cm} k \hspace{0.03cm} \big]$ um den Betrag $x_\nu \cdot x_{\nu+k}$ erhöht.

• In den Zeilen 22 und 23 werden schließlich alle AKF–Werte durch die Anzahl $N$ dividiert.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel Autokorrelationsfunktion.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Numerische AKF-Ermittlung.

Fragebogen

1

Welche Elemente $i$ und $j$ des Hilfsfeldes ${\rm H}\big[ \ \big]$ werden beim ersten Durchlauf $(z=0)$ zur Berechnung des AKF–Wertes $\varphi(k=6)$ verwendet?
Welche Zufallswerte $x_\nu$ stehen in diesen Speicherzellen?

$i \ = \ $

$j \ = \ $

2

Welche Speicherzelle ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} i \hspace{0.03cm} \big]$ wird nach dem ersten Schleifendurchgang $(z=0)$ mit einer neuen Zufallsgröße $x_\nu$ belegt?
Welcher Index $\nu$ wird dabei eingetragen?

$i \ = \ $

$\nu\ =\ $

3

Welche Speicherelemente ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} i \hspace{0.03cm} \big]$ und ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} j \hspace{0.03cm} \big]$ werden beim Schleifendurchlauf $z=83$ zur Berechnung des AKF-Wertes $\varphi(k=6)$ verwendet?
Welche Zufallswerte stehen in diesen Speicherzellen?

$i \ = \ $

$j \ = \ $

Musterlösung

Solution

Zur numerischen AKF-Berechnung

(1)  Mit $z= 0$ und $k=6$ ergibt sich gemäß dem Programm:   $\underline{i= 0}$ und $\underline{j= 6}$.
Die entsprechenden Speicherinhalte sind ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 0 \hspace{0.03cm}\big] = x_1$ und ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 6 \hspace{0.03cm}\big] = x_7$.

(2)  In das Feld ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 0 \hspace{0.03cm}\big]$ wird nun die Zufallsgröße $x_{12}$ eingetragen:

$$\text{Speicherzelle }\underline{i= 0},\hspace{1cm}\text{Folgenindex }\underline{\nu= 12}.$$

(3)  Die Grafik zeigt die Belegung des Hilfsfeldes mit den Zufallswerten $x_\nu$.

• Jeweils grün hinterlegt ist die Speicherzelle ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} i \hspace{0.03cm}\big]$. In diesen Speicherplatz wird jeweils am Ende der Schleife (Zeile 18) die neue Zufallsgröße eingetragen.
• Für $z= 83$ und $K=6$ ergibt sich

$$\underline{i= 83 \mod \ 11 = 6},\hspace{1cm} \underline{j= (i+k) \mod \ 11 = 1}.$$

• Schleifendurchlaufs $z= 83$:   In der Speicherzelle ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 6 \hspace{0.03cm}\big]$ steht die Zufallsgröße $x_{84}$ und in der Speicherzelle ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 1 \hspace{0.03cm}\big]$die Zufallsgröße $x_{90}$.
• Am Ende des Schleifendurchlaufs $z= 83$ wird in ${\rm H}\big[\hspace{0.03cm} 6 \hspace{0.03cm}\big]$ der Inhalt $x_{84}$ durch $x_{95}$ ersetzt.