Exercise 2.5: Residual Redundancy with LZW Coding
Wir gehen hier von einer binären Eingangsfolge der Länge $N$ aus und betrachten drei verschiedene binäre Nachrichtenquellen:
- $\rm BQ1$: Symbolwahrscheinlichkeiten $p_{\rm A} = 0.89$, $p_{\rm B} = 0.11$, also unterschiedlich
⇒ Entropie $H = 0.5\text{ bit/Quellensymbol}$ ⇒ die Quelle ist redundant. - $\rm BQ2$: $p_{\rm A} = p_{\rm B} = 0.5$ (gleichwahrscheinlich) ⇒ Entropie $H = 1\text{ bit/Quellensymbol}$
⇒ die Quelle ist redundanzfrei. - $\rm BQ3$: Hier gibt es keine konkreten Angaben zur Statistik. In der Teilaufgabe (6) sollen Sie die Entropie $H$ dieser Quelle abschätzen.
Für diese drei Quellen wurden per Simulation die jeweilige Restredundanz $r(N)$ ermittelt, die nach der Lempel–Ziv–Welch–Codierung in der Binärfolge verbleibt. Die Ergebnisse sind in der jeweils ersten Spalte obiger Tabelle für die Quellen
- $\rm BQ1$ (gelbe Hinterlegung),
- $\rm BQ2$ (grüne Hinterlegung) und
- $\rm BQ3$ (blaue Hinterlegung)
eingetragen, wobei wir uns bei der Simulation auf Folgenlängen $N ≤ 50000$ beschränkt haben.
Die relative Redundanz der Ausgangsfolge – vereinfachend Restredundanz genannt – kann aus
- der Länge $N$ der Eingangsfolge,
- der Länge $L(N)$ der Ausgangsfolge und
- der Entropie $H$
in folgender Weise berechnet werden:
- $$r(N) = \frac{L(N) - N \cdot H}{L(N)}= 1 - \frac{ N \cdot H}{L(N)}\hspace{0.05cm}.$$
Hierbei ist berücksichtigt, dass bei perfekter Quellencodierung die Länge der Ausgangsfolge bis auf den Wert $L_{\rm min} = N · H$ herabgesenkt werden könnte.
- Bei nichtperfekter Quellencodierung gibt $L(n) - N · H$ die verbleibende Redundanz (mit der Pseudo–Einheit „bit”) an.
- Nach Division durch $L(n)$ erhält man die relative Redundanz $r(n)$ mit dem Wertebereich zwischen $0$ und $1$; $r(n)$ sollte möglichst klein sein.
Eine zweite Kenngröße zur Effizienzmessung der LZW–Codierung ist der Komprimierungsfaktor $K(N)$, der ebenfalls klein sein sollte:
- $$K(N) = {L(N) }/{N} \hspace{0.05cm},$$
Im Theorieteil wurde gezeigt, dass die Restredundanz $r(n)$ oft durch die Funktion
- $$r\hspace{0.05cm}'(N) =\frac {A}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N)} \hspace{0.5cm}{\rm mit}\hspace{0.5cm} A = 4 \cdot {r(N = 10000)} \hspace{0.05cm}.$$
gut angenähert wird. Die Näherung $r\hspace{0.05cm}'(N)$ ist für $\rm BQ1$ in der zweiten Spalte obiger Tabelle angegeben. In den Teilaufgaben (4) und (5) sollen Sie die Approximation für die Quellen $\rm BQ2$ und $\rm BQ3$ vornehmen.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Komprimierung nach Lempel, Ziv und Welch.
- Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten
- Die Beschreibungsgrößen $K(N)$ und $r(N)$ hängen deterministisch zusammen.
Fragebogen
Musterlösung
- $$A = 4 \cdot r(N = 10000) =4 \cdot {0.265} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.06} \hspace{0.05cm}. $$
(2) Aus der Beziehung ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) ≤ 0.05$ ⇒ ${A}/{\rm lg}\hspace{0.1cm}(N) = 0.05$ folgt:
- $${{\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 2}} = \frac{A}{0.05} = 21.2 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} N_{\rm 2} = 10^{21.2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1.58 \cdot 10^{21}} \hspace{0.05cm}.$$
(3) Allgemein gilt $r(N) = 1 - {H}/{K(N)} \hspace{0.05cm}.$ $\rm BQ1$ hat die Entropie $H = 0.5$ bit/Symbol. Daraus folgt wegen $r(N) ≈ r\hspace{0.05cm}'(N)$ für $K(N_3) = 0.6$:
- $$r(N_{\rm c}) = 1 - \frac{0.5}{0.6} = 0.167 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} {\rm lg}\hspace{0.1cm}N_{\rm 3} = \frac{A}{0.167} = 6.36 \hspace{0.1cm}\Rightarrow\hspace{0.1cm} N_{\rm 3} = 10^{6.36} \hspace{0.15cm}\underline{= 2.29 \cdot 10^{6}} \hspace{0.05cm}.$$
(4) Für $N = 10000$ gilt $r(N) ≈ r\hspace{0.05cm}'(N) = 0.19$:
- $$\frac{A}{{\rm lg}\hspace{0.1cm}10000} = 0.19 \hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm} A = 0.19 \cdot 4 = 0.76 \hspace{0.05cm}. $$
Die Ergebnisse sind in nebenstehender Tabelle zusammengefasst. Man erkennt die sehr gute Übereinstimmung zwischen $r(N)$ und $r\hspace{0.05cm}'(N)$. Die gesuchten Zahlenwerte sind in der Tabelle rot markiert: $$r'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.162},\hspace{0.3cm}r'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.127},\hspace{0.3cm} r'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.063}.$$
Für den Komprimierungsfaktor gilt (der Apostroph weist darauf hin, dass von der Näherung r'(N) ausgegangen wurde):
- $$K'(N) = \frac{1}{1 - r'(N)}\hspace{0.05cm}.$$
Damit gilt für die Länge des LZW–Ausgabestrings:
- $$L'(N) = K'(N) \cdot N = \frac{N}{1 - r'(N)}\hspace{0.05cm}.$$
(5) Nach ähnlicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (4) erhält man für die Binärquelle BQ3 den Anpassungsparameter A = 1.36 und daraus die Ergebnisse gemäß der blau hinterlegten Tabelle.
Hinweis: Die letzte Spalte dieser Tabelle ist nur bei Kenntnis der Teilaufgabe (6) verständlich. Dort wird gezeigt, dass die Quelle BQ3 die Entropie H = 0.25 bit/Quellensymbol besitzt.
In diesem Fall gilt für den Komprimierungsfaktor:
- $$K'(N) = \frac{H}{1 - r'(N)} = \frac{0.25}{1 - r'(N)} \hspace{0.05cm}.$$
Damit erhält man für die gesuchten Werte der Restredundanz: $$r'(N = 50000)\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.289},\hspace{0.3cm}r'(N = 10^{6})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.227},\hspace{0.3cm} r'(N = 10^{12})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.113}.$$ Für N = 1012 weicht also der Komprimierungsfaktor (0.282) noch deutlich von der Entropie (0.25) ab, die für N → ∞ erreicht werden kann (Quellencodierungstheorem).
(6) Die einzelnen Näherungen r' (N) unterscheiden sich nur durch den Parameter A. Dabei haben wir festgestellt:
- Quelle BQ1 mit H = 0.50: A = 1.0 – entsprechend dem Angabenblatt),
- Quelle BQ2 mit H = 1.00: A = 0.76 – siehe Teilaufgabe (4)
- Quelle BQ3 (H unbekannt): A = 4 · 0.341 =1.364 – entsprechend der letzten Spalte in der Tabelle.
Je kleiner die Entropie H ist, um so größer ist offensichtlich der Anpassungsfaktor A (und umgekehrt).
Da genau eine Lösung möglich ist, muss H = 0.25 bit/Quellensymbol richtig sein ⇒ Antwort 4.
Tatsächlich wurden bei der Simulation für die Quelle BQ3 die Wahrscheinlichkeiten pA = 0.96, pB = 0.04 ⇒ H ≈ 0.25 verwendet.
