Exercise 3.2Z: Two-dimensional Probability Mass Function

Wahrscheinlichkeitsfunktion der 2D–Zufallsgröße $XY$

Wir betrachten die Zufallsgrößen $X = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ und $Y = \{ 0, 1, 2 \}$, deren gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{XY}(X,Y)$ gegeben ist.

Aus dieser 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion sollen die eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P_X(X)$ und $P_Y(Y)$ ermittelt werden.
Man nennt eine solche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion manchmal auch Randwahrscheinlichkeit (englisch: Marginal Probability).

Gilt $P_{XY}(X, Y) = P_X(X) \cdot P_Y(Y)$, so sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ statistisch unabhängig. Andernfalls bestehen statistische Bindungen zwischen $X$ und $Y$.

Im zweiten Teil der Aufgabe betrachten wir die Zufallsgrößen $U= \big \{ 0, 1 \big \}$ und $V= \big \{ 0, 1 \big \}$, die sich aus $X$ und $Y$ durch Modulo–2–Operationen ergeben:

$$U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2, \hspace{0.3cm} V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen.
Ausgegangen wird hier von der gleichen Konstellation wie in [3.2].
Dort wurde die Zufallsgrößen $Y = \{ 0, 1, 2, 3 \}$ betrachtet, allerdings mit dem Zusatz ${\rm Pr}(Y = 3) = 0$.
Die so erzwungene Eigenschaft $|X| = |Y|$ war in der vorherigen Aufgabe zur formalen Berechnung des Erwartungswertes ${\rm E}[P_X(X)]$ von Vorteil.

Fragebogen

$P_X(0) \ = \ $

$P_X(1) \ = \ $

$P_X(2)\ = \ $

$P_X(3) \ = \ $

$P_Y(0) \ = \ $

$P_Y(1) \ = \ $

$P_Y(2) \ = \ $

	Ja,
	Nein.

$P_{UV}( U = 0, V = 0) \ = \ $

$P_{UV}( U = 0, V = 1) \ = \ $

$P_{UV}( U = 1, V = 0) \ = \ $

$P_{UV}( U =1, V = 1) \ = \ $

	Ja,
	Nein.

Musterlösung

Solution

(1) Man kommt von $P_{XY}(X, Y)$ zur 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$, indem man alle $Y$-Wahrscheinlichkeiten aufsummiert:

$$P_X(X = x_{\mu}) = \sum_{y \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} Y} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x_{\mu}, y).$$

Man erhält folgende Zahlenwerte:

$$P_X(X = 0) = 1/4+1/8+1/8 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$

$$P_X(X = 1)= 0+0+1/8 = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},$$

$$P_X(X = 2) = 0+0+0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$$

$$P_X(X = 3) = 1/4+1/8+0=3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375}\hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_X(X) = \big [ 1/2, \ 1/8 , \ 0 , \ 3/8 \big ].$$

(2) Analog zur Teilaufgabe (1) gilt nun:

$$P_Y(Y = y_{\kappa}) = \sum_{x \hspace{0.05cm} \in \hspace{0.05cm} X} \hspace{0.1cm} P_{XY}(x, y_{\kappa})$$

$$P_Y(Y= 0) = 1/4+0+0+1/4 = 1/2 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.500},$$

$$P_Y(Y = 1) = 1/8+0+0+1/8 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250},$$

$$P_Y(Y = 2) = 1/8+1/8+0+0 = 1/4 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.250} \hspace{0.5cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} P_Y(Y= 0) = \big [ 1/2, \ 1/4 , \ 1/4 ].$$

(3) Bei Unabhängigkeit sollte $P_{XY}(X,Y)= P_X(X) \cdot P_Y(Y)$ sein. Dies trifft hier nicht zu: Antwort Nein.

(4) Ausgehend von der linken Tabelle ⇒ $P_{XY}(X,Y)$ kommt man zur mittlere Tabelle ⇒ $P_{UY}(U,Y)$, indem man gewisse Wahrscheinlichkeiten entsprechend $U = X \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$ zusammenfasst.

Verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Berücksichtigt man noch $V = Y \hspace{0.1cm}\text{mod} \hspace{0.1cm} 2$, so erhält man die gesuchten Wahrscheinlichkeiten entsprechend der rechten Tabelle:

$$P_{UV}( U = 0, V = 0) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},\hspace{0.5cm} P_{UV}( U = 0, V = 1) = 3/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.375},\hspace{0.5cm}$$

$$P_{UV}( U = 1, V = 0) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125},\hspace{0.5cm} P_{UV}( U = 1, V = 1) = 1/8 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.125}.$$

(5) Richtig ist die Antwort Ja:

Die zugehörigen 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten: $P_U(U) = \big [1/2 , \ 1/2 \big ]$ bzw. $P_V(V)=\big [3/4, \ 1/4 \big ]$.
Damit gilt $P_{UV}(U,V) = P_U(U) \cdot P_V(V)$ ⇒ $U$ und $V$ sind statistisch unabhängig.