Exercise 4.8Z: What does the AWGN Channel Capacity Curve say?
Wir betrachten wie in Aufgabe 4.8 die Kanalkapazität des AWGN–Kanals:
- $$C_{\rm Gauß}( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) . $$
- Die Kurve ist rechts bei logarithmischer Abszisse zwischen $-2 \ \rm dB$ und $+6 \ \rm dB$ dargestellt.
- Der Zusatz „Gauß” weist darauf hin, dass für diese Kurve am AWGN–Eingang eine Gaußverteilung vorausgesetzt wurde.
Eingezeichnet sind in obiger Grafik durch Punkte drei Systemvarianten:
- System $X$: mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 4 \ \rm dB$ und $R = 1$,
- System $Y$: mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$ und $R = 2$,
- System $Z$: mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 6 \ \rm dB$ und $R = 1.5$.
In den Fragen zu dieser Aufgabe verwenden wir noch folgende Begriffe:
- Digitalsystem: Symbolumfang $M_X = |X|$ beliebig,
- Binärsystem: Symbolumfang $M_X = 2$,
- Quaternärsystem: Symbolumfang $M_X = 4$.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
- Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$. .
- Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log2” verwendet.
Fragebogen
Musterlösung
- Da der Punkt X rechts von der Kanalkapazitätskurve CGauß(EB/N0) liegt, gibt es (mindestens) ein Nachrichtensystem der Rate R = 1, das mit 10 · lg (EB/N0) = 4 dB eine quasi–fehlerfreie Übertragung ermöglicht.
- Trotz der Coderate R = 1 beinhaltet dieses System eine Kanalcodierung mit einem unendlich langen Code, der aber leider unbekannt ist.
- Ein Binärsystem der Rate R = 1 erlaubt allerdings keine Kanalcodierung.
(2) Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2. Hier gelten folgende Aussagen:
- Das erforderliche EB/N0 für die Rate R = 2 ergibt sich zu
- $$(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{2^4 - 1} { 4 } = 3.75 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = 15.74\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}. $$
- Die maximale Coderate Rmax für 10 · lg (EB/N0) = 0 dB ⇒ EB/N0 = 1 berechnet sich wie folgt:
- $$C = R = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2^{2R} - 1 \stackrel{!}{=} 2 R \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} R_{\rm max} = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$
- Beide Berechnungen zeigen, dass der Punkt Y mit den Kenngrößen 10 · lg (EB/N0) = 0 dB und R = 1 das Kanalcodierungstheorem nicht erfüllt.
(3) Mit einem Binärsystem ist die Rate R = 1.5 niemals realisierbar ⇒ Lösungsvorschlag 1.
(4) Der Punkt Z liegt rechts von der Grenzkurve und für die Coderate eines Quaternärsystems gilt R ≤ 2. Die Rate R = 1.5 wäre also mit MX = 4 durchaus zu realisieren. Das heißt: Der Lösungsvorschlag 1 ist falsch. Richtig ist dagegen der zweite Lösungsvorschlag.
- Die vorgegebene Kurve CGauß(EB/N0) geht stets von einem gaußverteilten Eingang aus.
- Für ein Binärsystem ergibt sich eine andere Grenzkurve, nämlich entsprechend dem Theorieteil „Die Kalalkapazität Cals Funktion von EB/N0” mit der Eigenschaft CBPSK ≤ 1 bit/Kanalzugriff. CBPSK und CGauß unterscheiden sich signifikant.
- Für das Quaternärsystem (M = 4) müsste man eine entsprechende Kurve CM=4 berechnen und analysieren. Auch hier gilt CM=4 ≤ CGauß.
- Für kleines EB/N0 gilt CM=4 ≈ CGauß, danach weicht der Kurvenverlauf deutlich ab und endet in einer Horizontalen bei CM=4 = 2 bit/Kanalzugriff.
Der Punkt Z ⇒ 10 · lg EB/N0 = 6 dB, R = 1.5 liegt unterhalb von CM=4. Ein solches Quaternärsystem wäre also realisierbar, wie in der Aufgabe 4.10 noch gezeigt wird. Aber allein aus Kenntnis von CGauß kann die Frage nicht beantwortet werden.
