Exercise 4.8Z: What does the AWGN Channel Capacity Curve say?

AWGN–Kanalkapazität als Funktion von $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0})$

Wir betrachten wie in Aufgabe 4.8 die Kanalkapazität des AWGN–Kanals:

$$C_{\rm Gauß}( E_{\rm B}/{N_0}) = {1}/{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) . $$

Die Kurve ist rechts bei logarithmischer Abszisse zwischen $-2 \ \rm dB$ und $+6 \ \rm dB$ dargestellt.
Der Zusatz „Gauß” weist darauf hin, dass für diese Kurve am AWGN–Eingang eine Gaußverteilung vorausgesetzt wurde.

Eingezeichnet sind in obiger Grafik durch Punkte drei Systemvarianten:

System $X$: mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 4 \ \rm dB$ und $R = 1$,
System $Y$: mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$ und $R = 2$,
System $Z$: mit $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 6 \ \rm dB$ und $R = 1.5$.

In den Fragen zu dieser Aufgabe verwenden wir noch folgende Begriffe:

Digitalsystem: Symbolumfang $M_X = |X|$ beliebig,
Binärsystem: Symbolumfang $M_X = 2$,
Quaternärsystem: Symbolumfang $M_X = 4$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel AWGN–Kanalkapazität bei wertkontinuierlichem Eingang.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Die Kanalkapazität $C$ als Funktion von $E_{\rm B}/{N_0}$. .
Da die Ergebnisse in „bit” angegeben werden sollen, wird in den Gleichungen „log” ⇒ „log₂” verwendet.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Da der Punkt X rechts von der Kanalkapazitätskurve C_Gauß(E_B/N₀) liegt, gibt es (mindestens) ein Nachrichtensystem der Rate R = 1, das mit 10 · lg (E_B/N₀) = 4 dB eine quasi–fehlerfreie Übertragung ermöglicht.
Trotz der Coderate R = 1 beinhaltet dieses System eine Kanalcodierung mit einem unendlich langen Code, der aber leider unbekannt ist.
Ein Binärsystem der Rate R = 1 erlaubt allerdings keine Kanalcodierung.

(2) Richtig ist nur der Lösungsvorschlag 2. Hier gelten folgende Aussagen:

Das erforderliche E_B/N₀ für die Rate R = 2 ergibt sich zu

$$(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = \frac{2^{2R} - 1} { 2 \cdot R} = \frac{2^4 - 1} { 4 } = 3.75 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10\cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm}(E_{\rm B}/{N_0})_{\rm min} = 15.74\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}. $$

Die maximale Coderate R_max für 10 · lg (E_B/N₀) = 0 dB ⇒ E_B/N₀ = 1 berechnet sich wie folgt:

$$C = R = \frac{1}{2} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ( 1 + \frac { 2 \cdot R \cdot E_{\rm B}}{N_0}) \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 2^{2R} - 1 \stackrel{!}{=} 2 R \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} R_{\rm max} = 0.5 \hspace{0.05cm}. $$

Beide Berechnungen zeigen, dass der Punkt Y mit den Kenngrößen 10 · lg (E_B/N₀) = 0 dB und R = 1 das Kanalcodierungstheorem nicht erfüllt.

(3) Mit einem Binärsystem ist die Rate R = 1.5 niemals realisierbar ⇒ Lösungsvorschlag 1.

(4) Der Punkt Z liegt rechts von der Grenzkurve und für die Coderate eines Quaternärsystems gilt R ≤ 2. Die Rate R = 1.5 wäre also mit M_X = 4 durchaus zu realisieren. Das heißt: Der Lösungsvorschlag 1 ist falsch. Richtig ist dagegen der zweite Lösungsvorschlag.

Die vorgegebene Kurve C_Gauß(E_B/N₀) geht stets von einem gaußverteilten Eingang aus.
Für ein Binärsystem ergibt sich eine andere Grenzkurve, nämlich entsprechend dem Theorieteil „Die Kalalkapazität Cals Funktion von E_B/N₀” mit der Eigenschaft C_BPSK ≤ 1 bit/Kanalzugriff. C_BPSK und C_Gauß unterscheiden sich signifikant.
Für das Quaternärsystem (M = 4) müsste man eine entsprechende Kurve C_M₌₄ berechnen und analysieren. Auch hier gilt C_M=4 ≤ C_Gauß.
Für kleines E_B/N₀ gilt C_M=4 ≈ C_Gauß, danach weicht der Kurvenverlauf deutlich ab und endet in einer Horizontalen bei C_M=4 = 2 bit/Kanalzugriff.

Der Punkt Z ⇒ 10 · lg E_B/N₀ = 6 dB, R = 1.5 liegt unterhalb von C_M=4. Ein solches Quaternärsystem wäre also realisierbar, wie in der Aufgabe 4.10 noch gezeigt wird. Aber allein aus Kenntnis von C_Gauß kann die Frage nicht beantwortet werden.

	Für $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 4 \ \rm dB$ ist ein Digitalsystem mit der Rate $R = 1$ und der Fehlerwahrscheinlichkeit Null vorstellbar.
	Ein solches System kommt ohne Kanalcodierung aus.
	Ein solches System verwendet einen unendlich langen Code.
	Auch ein Binärsystem kann die Voraussetzungen erfüllen.

	Für $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$ ist ein Digitalsystem mit der Rate $R = 2$ und der Fehlerwahrscheinlichkeit Null vorstellbar.
	Für $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 0 \ \rm dB$ wäre $R = 0.5$ ausreichend.
	Für die Rate $R = 2$ würde $10 \cdot \lg (E_{\rm B}/{N_0}) = 5 \ \rm dB$ genügen.

	Ein Binärsystem erfüllt die Anforderungen auf keinen Fall.
	Die Kurve $C_\text{Gauß}(E_{\rm B}/{N_0})$ reicht für diese Bewertung nicht aus.

	Ein Quaternärsystem erfüllt die Anforderungen auf keinen Fall.
	Die Kurve $C_\text{Gauß}(E_{\rm B}/{N_0})$ reicht für diese Bewertung nicht aus.