Exercise 2.7Z: DSB-AM and Envelope Demodulator

Spektrum $R_{\rm TP}(f)$ des Empfangssignals im äquivalenten Tiefpassbereich

Ausgegangen wird vom Quellensignal

$$ q(t) = 2 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot t ) + 2 \,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t )\hspace{0.05cm}.$$

Dieses wird entsprechend dem Modulationsverfahren „ZSB–AM mit Träger” moduliert und über einen idealen Kanal übertragen. Der Einfluss von Rauschen kann außer Acht gelassen werden.

Die Grafik zeigt das Spektrum $R_{\rm TP}(f)$ des Empfangssignals im äquivalenten Tiefpassbereich, das sich aus Diraclinien bei $f = 0$ (herrührend vom Träger), bei $±2\ \rm kHz$ (herrührend vom Cosinusanteil) und bei $±5\ \rm kHz$ (herrührend vom Sinusanteil) zusammensetzt.

Als Ortskurve bezeichnet man die Darstellung des äquivalenten Tiefpass–Signals $r_{\rm TP}(t)$ in der komplexen Ebene, wobei $r_{\rm TP}(t)$ die Fourierrücktransformierte von $R_{\ \rm TP}(f)$ angibt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Hüllkurvendemodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals.

Fragebogen

Musterlösung

Solution

Quellensignal im Bereich von 0 bis 1 ms

(1) Die Grafik zeigt, dass das Quellensignal alle Werte zwischen $–4 \ \rm V$ und $+3.667\ \rm V$ annehmen kann.

Der maximale Betrag tritt zum Beispiel zum Zeitpunkt $t = t_0 =0.75\ \rm ms$ auf:

$$q(t = t_0) = 2 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi \cdot 2\,{\rm kHz} \cdot t_0 ) + 2 \,{\rm V} \cdot \sin(2 \pi \cdot 5\,{\rm kHz} \cdot t_0 )$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}q(t = 0.75 \,{\rm ms}) = 2 \,{\rm V} \cdot \cos(3 \pi) + 2 \,{\rm V} \cdot \sin(7.5 \pi)= -4 \,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$

Daraus folgt für den maximalen Betrag: $q_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4 \ \rm V}$.

(2) In der Grafik auf der Angabenseite gibt das Gewicht der Diraclinie bei $f = 0$ die Amplitude des zugesetzten Trägers an.

Diese ist $A_{\rm T}\hspace{0.15cm}\underline{ = 4\ \rm V }$.
Daraus erhält man den Modulationsgrad $m = q_{\rm max}/A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline{ = 1}$.

(3) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Da der Modulationsgrad nicht größer als $m = 1$ ist, führt auch der Hüllkurvendemodulator nicht zu Verzerrungen.
Der wesentliche Vorteil der Hüllkurvendemodulation ist, dass keine Frequenz– und Phasensynchronität notwendig ist.
Nachteilig ist, dass im Gegensatz zur Synchrondemodulation beim Sender eine deutlich höhere Leistung aufgebracht werden muss.
Bei $m = 1$ ergibt sich gegenüber der ZSB–AM ohne Träger die dreifache Sendeleistung.

Äquivalentes Tiefpass–Signal in drer komplexen Ebene

(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 3:

Mit $ω_2 = 2 π · 2 \ \rm kHz$ und $ω_5 = 2 π · \ \rm 5 kHz$ gilt:

$$ r_{\rm TP}(t) = 4 \,{\rm V} \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 1 \,{\rm V} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 2}\cdot \hspace{0.03cm}t} \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} 1 \,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 2}\cdot \hspace{0.03cm}t} \hspace{-0.05cm}-\hspace{-0.05cm} \hspace{0.15cm}{\rm j} \cdot1 \,{\rm V} \cdot {\rm e}^{{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 5}\cdot \hspace{0.03cm}t} \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} {\rm j} \cdot1 \,{\rm V} \cdot {\rm e}^{-{\rm j} \cdot \hspace{0.03cm}\omega_{\rm 5}\cdot \hspace{0.03cm}t} \hspace{0.05cm}. \hspace{0.1cm}$$

Bei der Konstruktion der Ortskurve $r_{TP}(t)$ sind somit genau fünf Zeiger zu berücksichtigen ⇒ Antwort 1 ist richtig. Die Grafik zeigt eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt t = 0.
Der (rote) Träger ist für alle Zeiten durch den reellen Zeiger der Länge $4 \ \rm V$ gegeben. Im Gegensatz zum Zeigerdiagramm (Darstellung des analytischen Signals) dreht dieser nicht ⇒ Antwort 2 ist falsch.
Die dritte Aussage ist ebenso wie die Aussage 1 richtig: Die Drehzeiger bei negativen Frequenzen drehen in mathematisch negativer Richtung (im Uhrzeigersinn) im Gegensatz zu den beiden Zeigern mit $f > 0$.
Die letzte Aussage trifft dagegen nicht zu. Je größer die Frequenz $f$ ist, um so schneller dreht der zugehörige Zeiger.

Ortskurve für verzerrungsfreie Hüllkurvendemodulation

(5) Richtig sind die Aussagen 1 und 2: Im betrachteten Beispiel kann für das äquivalente TP–Signal auch geschrieben werden:

$$r_{\rm TP}(t) = q(t) + A_{\rm T} \hspace{0.05cm}.$$

Damit ist offensichtlich, dass $r_{\rm TP}(t)$ stets reell ist. Aus den Teilaufgaben (1) und (2) folgt weiter: $r_{\rm TP}(t) ≥ 0$. Das bedeutet:

Die Ortskurve ist hier eine horizontale Gerade auf der reellen Gerade und liegt stets in der rechten Halbebene.
Dies sind die beiden notwendigen Bedingungen, dass mit einem Hüllkurvendemodulator das Nachrichtensignal verzerrungsfrei wiedergewonnen werden kann.
Ist eine dieser Voraussetzungen nicht erfüllt, so kommt es zu nichtlinearen Verzerrungen, nicht zu linearen ⇒ Antwort 3 ist falsch.

	Die Ortskurve $r_{\rm TP}(t)$ setzt sich aus fünf Zeigern zusammen.
	Der Träger rotiert mit der Drehgeschwindigkeit $ω_{\rm T}$.
	Die Drehzeiger der negativen Frequenzen drehen im Uhrzeigersinn.
	Der Zeiger für $2 \ \rm kHz$ dreht doppelt so schnell als der für $5 \ \rm kHz$.

	Mit dem Hüllkurvendemodulator ist in dem betrachteten Beispiel keine verzerrungsfreie Demodulation möglich.
	Man kann auf die Frequenz–/Phasensynchronisation verzichten.
	Mit einem Synchrondemodulator würde eine kleinere Sendeleistung genügen.

	Eine verzerrungsfreie Demodulation ist nur möglich, wenn $r_{\rm TP}(t)$ für alle Zeiten reell ist.
	Eine verzerrungsfreie Demodulation ist nur möglich, wenn $r_{\rm TP}(t)$ zu keinem Zeitpunkt negativ wird.
	Sind die beiden erstgenannten Bedingungen nicht erfüllt, so kommt es zu linearen Verzerrungen.