Exercise 2.9: Symmetrical Distortions

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Sende– und Empfangsspektrum im äquivalenten TP-Bereich

Das aus zwei Anteilen zusammengesetzte Quellensignal

$$q(t) = A_1 \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + A_2 \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$

wird amplitudenmoduliert und über einen linear verzerrenden Übertragungskanal übertragen. Die Trägerfrequenz ist  $f_{\rm T}$  und der zugesetzte Gleichanteil  $A_{\rm T}$. Es liegt also eine  Zweiseitenband-Amplitudenmoduluation (ZSB–AM) mit Träger  vor.

Die obere Grafik zeigt das Spektrum  $S_{\rm TP}(f)$  des äquivalenten TP–Signals in schematischer Form. Das bedeutet, dass die Längen der gezeichneten Diraclinien nicht den tatsächlichen Werten von  $A_{\rm T}$,  $A_1/2$  und  $A_2/2$  entsprechen.

Messtechnisch erfasst wurde die Spektralfunktion  $R(f)$  des Empfangssignals. In der unteren Grafik sehen Sie das daraus berechnete äquivalente Tiefpass–Spektrum  $R_{\rm TP}(f)$.

Der Kanalfrequenzgang ist durch einige Stützwerte ausreichend genau beschrieben:

$$H_{\rm K}(f = f_{\rm T}) = 0.5,\hspace{0.3cm}H_{\rm K}(f = f_{\rm T} \pm f_1) = 0.4,\hspace{0.3cm} H_{\rm K}(f = f_{\rm T} \pm f_2) = 0.2 \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Hüllkurvendemodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf das Kapitel  Beschreibung mit Hilfe des äquivalenten Tiefpass-Signals.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie die Amplituden von Träger– und Quellensignal.

$A_{\rm T} \ = \hspace{0.17cm}$ $\ \rm V$

$A_1 \ = \ $ $\ \rm V$

$A_2 \ = \ $ $\ \rm V$

2

Zu welcher Art von Verzerrung hätte der Einsatz eines Hüllkurvendemodulators bei idealem Kanal   ⇒   $H_{\rm K}(f) = 1$ geführt?

	Keine Verzerrungen.
	Lineare Verzerrungen.
	Nichtlineare Verzerrungen.

3

Berechnen Sie das äquivalente Tiefpass–Signal und beantworten Sie folgende Fragen. Ist es zutreffend, dass

	$r_{\rm TP}(t)$ stets reell ist,
	$r_{\rm TP}(t)$ stets größer oder gleich 0 ist,
	die Phasenfunktion $ϕ(t)$ die Werte $0^\circ$ und $180^\circ$ annehmen kann.

4

Zu welchen Verzerrungen führt der Hüllkurvendemodulator beim betrachteten Übertragungskanal?

	Keine Verzerrungen.
	Lineare Verzerrungen.
	Nichtlineare Verzerrungen.

Musterlösung

Solution

(1)  Anhand der Grafiken auf der Angabenseite sind folgende Aussagen möglich:

$${A_{\rm T}} \cdot 0.5 = 2 \,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm T} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}},$$

$${A_{\rm 1}}/{2} \cdot 0.4 = 0.6\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 1} \hspace{0.15cm}\underline {= 3 \,{\rm V}},$$

$${A_{\rm 2}}/{2} \cdot 0.2 = 0.4\,{\rm V}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}A_{\rm 2} \hspace{0.15cm}\underline {= 4 \,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3:

• Der Modulationsgrad ergibt sich zu $m = (A_1 + A_2)/A_T = 1.75$.
• Damit ergeben sich bei Verwendung eines Hüllkurvendemodulators starke nichtlineare Verzerrungen.
• Ein Klirrfaktor kann aber nicht angegeben werden, da das Quellensignal zwei Frequenzanteile beinhaltet.

(3)  Richtig sind die Aussagen 1 und 2: Die Fourierrücktransformation von $R_{\rm TP}(f)$ führt zum Ergebnis:

$$r_{\rm TP}(t) = 2 \,{\rm V} + 1.2 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.8 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )\hspace{0.05cm}.$$

• Diese Funktion ist stets reell und nicht–negativ.
• Damit gilt gleichzeitig $ϕ(t) = 0$. Dagegen ist $ϕ(t) = 180^\circ$ nicht möglich.

(4)  Ein Vergleich der beiden Signale

$$q(t) = 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t ),$$

$$v(t) = 0.4 \cdot 3 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_1 t ) + 0.2 \cdot 4 \,{\rm V} \cdot \cos(2 \pi f_2 t )$$

zeigt, dass nun lineare Verzerrungen – genauer gesagt Dämpfungsverzerrungen – auftreten   ⇒   Lösungsvorschlag 2.

• Der Kanal $H_{\rm K}(f)$ hat hier den positiven Effekt, dass anstelle von irreversiblen nichtlinearen Verzerrungen nun nichtlineare Verzerrungen entstehen, die durch ein nachgeschaltetes Filter eliminiert werden können.
• Dies ist darauf zurückzuführen, dass durch die stärkere Dämpfung des Quellensignals $q(t)$ im Vergleich zum Trägersignal $z(t)$ der Modulationsgrad von $m = 1.75$ auf $m = (0.4 · 3 \ \rm V + 0.2 · 4 \ \rm V)/(0.5 · 4 \ \rm V) = 1$ herabgesetzt wird.