Exercise 3.10: Maximum Likelihood Tree Diagram

Signale und Baumdiagramm

Wie in der Aufgabe 3.9 betrachten wir die gemeinsame Entscheidung dreier Binärsymbole (Bits) mittels des Korrelationsempfängers.

Die möglichen Sendesignale $s_0(t), \ \text{...} \ , \ s_7(t)$ seien bipolar.
In der Grafik sind die Funktionen $s_0(t)$, $s_1(t)$, $s_2(t)$ und $s_3(t)$ dargestellt.
Die blauen Kurvenverläufe gelten dabei für rechteckförmige NRZ–Sendeimpulse.

Darunter gezeichnet ist das so genannte Baumdiagramm für diese Konstellation unter der Voraussetzung, dass das Signal $s_3(t)$ gesendet wurde. Dargestellt sind hier im Bereich von $0$ bis $3T$ die Funktionen

$$i_i(t) = \int_{0}^{t} s_3(\tau) \cdot s_i(\tau) \,{\rm d} \tau \hspace{0.3cm}( i = 0, \ \text{...} \ , 7)\hspace{0.05cm}.$$

Der Korrelationsempfänger vergleicht die Endwerte $I_i = i_i(3T)$ miteinander und sucht den größtmöglichen Wert $I_j$.
Das zugehörige Signal $s_j(t)$ ist dann dasjenige, das gemäß dem Maximum–Likelihood–Kriterium am wahrscheinlichsten gesendet wurde.

Anzumerken ist, dass der Korrelationsempfänger im allgemeinen die Entscheidung anhand der korrigierten Größen $W_i = I_i \ - E_i/2$ trifft. Da aber bei bipolaren Rechtecken alle Sendesignale $(i = 0, \ \text{...} \ , \ 7)$ die genau gleiche Energie

$$E_i = \int_{0}^{3T} s_i^2(t) \,{\rm d} t$$

aufweisen, liefern die Integrale $I_i$ genau die gleichen Maximum–Likelihood–Informationen wie die korrigierten Größen $W_i$.

Die roten Signalverläufe $s_i(t)$ ergeben sich aus den blauen durch Faltung mit der Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.35$.

Jeder einzelne Rechteckimpuls wird verbreitert.
Die roten Signalverläufe führen bei Schwellenwertentscheidung zu Impulsinterferenzen.

Hinweis:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Optimale Empfängerstrategien.

Fragebogen

$I_0/E_{\rm B} \ = \ $

$I_2/E_{\rm B} \ = \ $

$I_4/E_{\rm B} \ = \ $

$I_6/E_{\rm B} \ = \ $

	Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
	Ist $I_3$ der maximale $I_i$–Wert, so entscheidet der Empfänger richtig.
	Es gilt unabhängig von der Stärke der Störungen $I_0 = I_6$.

	Das Baumdiagramm ist weiter durch Geradenstücke beschreibbar.
	Die Signalenergien $E_i(i = 0, \ \text{...} \ , 7$) sind unterschiedlich.
	Es sind sowohl die Entscheidungsgrößen $I_i$ als auch $W_i$ geeignet.

	Ohne Impulsinterferenzen (blau) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.
	Mit Impulsinterferenzen (rot) sind $t_1 = 0$ und $t_2 = 3T$ bestmöglich.

Musterlösung

Solution

(1) Die linke Grafik zeigt das Baumdiagramm (ohne Rauschen) mit allen Endwerten. Grün hervorgehoben ist der Verlauf $i_0(t)/E_{\rm B}$ mit dem Endergebnis $I_0/E_{\rm B} = \ –1$, der zunächst linear bis $+1$ ansteigt – das jeweils erste Bit von $s_0(t)$ und $s_3(t)$ stimmen überein – und dann über zwei Bitdauern abfällt.

Baumdiagramm des Korrelationsempfängers

Die richtigen Ergebnisse lauten somit:

$$I_0/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1},$$

$$I_2/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= +1}, $$

$$I_4/E_{\rm B} \hspace{0.15cm}\underline {= -3}, $$

$$I_6/E_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = -1} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig ist nur der zweite Lösungsvorschlag:

Bei Vorhandensein von (Rausch–) Störungen nehmen die Funktionen $i_i(t)$ nicht mehr linear zu bzw. ab, sondern haben einen Verlauf wie in der rechten Grafik dargestellt.
Solange $I_3 > I_{\it i≠3}$ ist, entscheidet der Korrelationsempfänger richtig.
Bei Vorhandensein von Störungen gilt stets $I_0 ≠ I_6$ im Gegensatz zum störungsfreien Baumdiagramm.

(3) Auch hier ist nur die zweite Aussage zutreffend:

Da nun die möglichen Sendesignale $s_i(t)$ nicht mehr aus isolierten horizontalen Abschnitten zusammengesetzt werden können, besteht auch das Baumdiagramm ohne Störungen nicht aus Geradenstücken.
Da die Energien $E_i$ unterschiedlich sind – dies erkennt man zum Beispiel durch den Vergleich der Signale $s_0(t)$ und $s_2(t)$ – müssen für die Entscheidung unbedingt die korrigierten Größen $W_i$ herangezogen werden.
Die Verwendung der reinen Korrelationswerte $I_i$ kann bereits ohne Rauschstörungen zu Fehlentscheidungen führen.

(4) Richtig ist die Antwort 1: Im Fall ohne Impulsinterferenzen (blaue Rechtecksignale) sind alle Signale auf den Bereich $0 \ ... \ 3T$ begrenzt.

Außerhalb stellt das Empfangssignal $r(t)$ reines Rauschen dar.
Deshalb genügt in diesem Fall auch die Integration über den Bereich $0 \ \text{...} \ 3T$.
Demgegenüber unterscheiden sich bei Berücksichtigung von Impulsinterferenzen (rote Signale) die Integranden $s_3(t) \cdot s_i(t)$ auch außerhalb dieses Bereichs.
Wählt man $t_1 = \ –T$ und $t_2 = +4T$, so wird deshalb die Fehlerwahrscheinlichkeit des Korrelationsempfängers gegenüber dem Integrationsbereich $0 \ \text{...} \ 3T$ weiter verringert.