Exercise 4.11: On-Off Keying and Binary Phase Shift Keying

Zwei Signalraumkonstellation für OOK und BPSK

Die Grafik zeigt Signalraumkonstellationen für trägermodulierte Modulationsverfahren:

On–Off–Keying (OOK), in manchen Büchern auch als Amplitude Shift Keying (ASK) bezeichnet,
Binary Phase Shift Keying (BPSK).

Für die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit gehen wir vom AWGN–Kanal aus. In diesem Fall ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (bezogen auf Symbole oder auf Bit gleichermaßen):

$$p_{\rm S} = p_{\rm B} = {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Hierbei bezeichnet

$d$ den Abstand der Signalraumpunkte, und
$\sigma_n^2 = N_0/2$ die Varianz des AWGN–Rauschens.

In den Teilfragen ab (3) wird zudem auf die mittlere Symbollenergie $E_{\rm S}$ Bezug genommen.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodulation.
Bezug genommen wird auch auf das Kapitel Lineare digitale Modulation – Kohärente Demodulation sowie das Kapitel Lineare digitale Modulation des Buches „Modulationsverfahren”.

Verwenden Sie für die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion die folgende Näherung:

$${\rm Q}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2} \hspace{0.05cm}.$$

Fragebogen

$b \hspace{0.35cm} = \ $

$M \ = \ $

	Die Darstellung im (tatsächlichen) Bandpassbereich,
	die Darstellung im (äquivalenten) Tiefpassbereich.

$E_{\rm S}/N_0 = 9 \text{:} \hspace{2.3cm} p_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –4}$

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –4}$

$E_{\rm S}/N_0 = 9 \text{:} \hspace{2.3cm} p_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –8}$

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ {\rm dB} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S} \ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm –8}$

Musterlösung

Solution

(1) Sowohl On–Off–Keying (OOK) als auch Binary Phase Shift Keying (BPSK) sind binäre Modulationsverfahren:

$$\underline{b = 1 }\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm} \underline{M = 2} \hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, erkennbar an der imaginären Basisfunktion $\varphi_2(t) = {\rm j} \cdot \varphi_1(t)$.

Bei Beschreibung im Bandpassbereich wären die Basisfunktionen cosinus– und (minus–)sinusförmig reell.

(3) Die vorgegebene Gleichung lautet bei On–Off–Keying (OOK) mit

$d = \sqrt {E}$,
$E_{\rm S} = E/2$ (wobei gleichwahrscheinliche Symbole $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ vorausgesetzt sind) und
$\sigma_n^2 = N_0/2$:

$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} = \hspace{-0.1cm} {\rm Q} \left ( \frac{ d/2}{ \sigma_n}\right )= {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E}/2}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ \frac{ E/2}{ N_0} }\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Für $E_{\rm S}/N_0 = 9 = 3^2$ ergibt sich somit:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 3} \cdot {\rm e}^{-9/2} = \underline{14.8 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$

Entsprechend gilt für $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm S}/N_0) = 12 \ \rm dB$ ⇒ $E_{\rm S}/N_0 = 15.85$:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{15.85}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 15.85} } \cdot {\rm e}^{-15.85/2} = \underline{0.362 \cdot 10^{-4}} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Im Unterschied zur Teilaufgabe (3) gilt Binary Phase Shift Keying (BPSK)

$d = 2 \cdot \sqrt {E}$,
$E_{\rm S} = E$,

beides sogar unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten für $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$.

Daraus folgt:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{ \sqrt{N_0/2}}\right ) = {\rm Q} \left ( \sqrt{ { 2E_{\rm S}}/{ N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Mit $E_{\rm S}/N_0 = 9$ ergibt sich daraus der Zahlenwert:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{18}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 18} } \cdot {\rm e}^{-18/2} = \underline{117 \cdot 10^{-8}} \hspace{0.05cm}.$$

Und mit $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm S}/N_0 = 12 \ \rm dB$ ⇒ $2E_{\rm S}/N_0 = 31.7$:

$$p_{\rm S} = {\rm Q} (\sqrt{31.7}) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot 31.7} } \cdot {\rm e}^{-31.7/2} = \underline{0.926 \cdot 10^{-8}}\hspace{0.05cm}.$$