Exercise 4.17Z: Rayleigh and Rice Distribution

Rice- (oben) und Rayleigh (unten)

Für die Untersuchung von Nachrichtensystemen haben die Rayleigh– und die Rice–Verteilung eine große Bedeutung. Im Folgenden sei $y$ eine rayleigh– oder eine riceverteilte Zufallsgröße und $\eta$ jeweils eine Realisierung hiervon.

Die Rayleighverteilung ergibt sich dabei für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (kurz: WDF) einer Zufallsgröße $y$, die sich aus den beiden gaußverteilten und statistisch unabhängigen Komponenten $u$ und $v$ $($beide mit der Streuung $\sigma_n)$ wie folgt ergibt:

$$y = \sqrt{u^2 + v^2} \hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.01cm}.$$

Die Riceverteilung erhält man unter sonst gleichen Randbedingungen für den Anwendungsfall, dass bei einer der beiden Komponenten noch eine Konstante $C$ addiert wird, zum Beispiel:

$$y = \sqrt{(u+C)^2 + v^2} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_y (\eta) = \frac{\eta}{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + C^2}{2 \sigma_n^2}\right ] \cdot {\rm I }_0 \left [ \frac{\eta \cdot C}{ \sigma_n^2}\right ] \hspace{0.05cm}.$$

In dieser Gleichung bezeichnet ${\rm I}_0(x)$ die modifizierte Besselfunktion nullter Ordnung.

In der Grafik sind die beiden Dichtefunktionen dargestellt, wobei allerdings nicht angegeben wird, ob $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ bzw. $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ zu einer Rayleigh– oder zu einer Riceverteilung gehören.

Bekannt ist nur, dass je eine Rayleigh– und eine Riceverteilung dargestellt ist.
Der Parameter $\sigma_n$ ist bei beiden Verteilungen gleich.

Für Ihre Entscheidung, ob Sie $p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ oder $p_{\rm II}(\hspace{0.03cm}\eta)$ der Riceverteilung zuordnen, und für die Ermittlung der WDF–Parameter können Sie folgende Aussagen berücksichtigen:

Für große Werte des Quotienten $C/\sigma_n$ lässt sich die Riceverteilung durch eine Gaußverteilung mit Mittelwert $C$ und Streuung $\sigma_n$ annähern.
Die der Grafik zugrunde liegenden Werte von $C$ und $\sigma_n$ sind ganzzahlig.

Hinsichtlich der Rayleighverteilung ist zu beachten:

Für beide Verteilungen ist das gleiche $\sigma_n$ zugrunde gelegt.
Für die Streuung (Wurzel aus der Varianz) der Rayleighverteilung gilt:

$$\sigma_y = \sigma_n \cdot \sqrt{2 - {\pi}/{2 }} \hspace{0.2cm} \approx \hspace{0.2cm} 0.655 \cdot \sigma_n \hspace{0.05cm}.$$

Für die Streuung bzw. für die Varianz der Riceverteilung kann allgemein nur ein komplizierter Ausdruck mit hypergeometrischen Funktionen angegeben werden, ansonsten nur eine Näherung für $C \gg \sigma_n$ entsprechend der Gaußverteilung.

Hinweise:

Diese Aufgabe gehört zum Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation.

Gegeben ist zudem das folgende unbestimmteIntegral:

$$\int x \cdot {\rm e }^{-x^2} \,{\rm d} x = -{1}/{2} \cdot {\rm e }^{-x^2} + {\rm const. } $$

Fragebogen

	$p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ entspricht der Rayleighverteilung, $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ der Riceverteilung.
	$p_{\hspace{0.03cm}\rm I}(\eta)$ entspricht der Riceverteilung, $p_{\hspace{0.03cm}\rm II}(\eta)$ der Rayleighverteilung.

$C \hspace{0.25cm} = \ $

$\sigma_n \ = \ $

	Die Rayleighverteilung,
	die Riceverteilung?.

${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{0.33cm} = \ $

$ \ \%$

${\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \ = \ $

$ \ \%$

${\rm Pr}(y > 3\sigma_n) \ = \ $

$ \ \%$

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist der zweite Lösungsvorschlag..:

Die obere Grafik zeigt näherungsweise eine Gaußverteilung und gehört dementsprechend zur Riceverteilung.

(2) Man erkennt aus der Grafik: Der Mittelwert der Gaußverteilung ist $\underline {C = 4}$ und die Streuung ist $\underline {\sigma_n = 1}$.
Vorgegeben war ja, dass $C$ und $\sigma_n$ ganzzahlig seien. Damit lauten die beiden Dichtefunktionen:

$$p_{\rm I} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 + 16}{2 }\right ] \cdot {\rm I }_0 (4\eta ) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot {\rm exp } \left [ - \frac{(\eta-4)^2 }{2 }\right ]\hspace{0.05cm},$$

$$ p_{\rm II} (\eta) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\eta} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 }{2 }\right ] \hspace{0.05cm}.$$

(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2, wie bereits aus der Grafik ersichtlich ist. Eine Rechnung bestätigt dieses Ergebnis:

$$\sigma_{\rm Rice}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2 = 1\hspace{0.05cm},$$

$$ \sigma_{\rm Rayl}^2 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \sigma_n^2 \cdot ({2 - {\pi}/{2 }}) \approx 0.429 \hspace{0.05cm}.$$

(4) Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ größer ist als ein Wert $y_0$, gleich

$${\rm Pr}(y > y_0) = \int_{y_0}^{\infty} \frac{\eta}{\sigma_n^2} \cdot {\rm exp } \left [ - \frac{\eta^2 }{2 \sigma_n^2}\right ] \,{\rm d} \eta \hspace{0.05cm}.$$

Mit der Substitution $x^2 = \eta^2/(2\sigma_n^2)$ kann hierfür geschrieben werden:

$${\rm Pr}(y > y_0) = 2 \cdot \hspace{-0.05cm}\int_{y_0/(\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n)}^{\infty} \hspace{-0.5cm}x \cdot {\rm e }^{ - x^2} \,{\rm d} x = \left [{\rm e }^{ - x^2} \right ]_{\sqrt{2}\hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} \sigma_n}^{\infty} = {\rm exp } \left [ -\frac{ y_0^2 }{2 \sigma_n^2 }\right ]\hspace{0.05cm}.$$

Hierbei wurde das vorne angegebene unbestimmte Integral benutzt. Insbesondere gilt:

$${\rm Pr}(y > \sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 0.5} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 60.7 \%} \hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm Pr}(y > 2\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 2.0} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 13.5 \%} \hspace{0.05cm},$$

$$ {\rm Pr}(y > 3\sigma_n) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm e }^{ - 4.5} \hspace{0.15cm} \underline{\approx 1.1 \%} \hspace{0.05cm}.$$