Exercise 4.18Z: BER of Coherent and Non-Coherent FSK

Bitfehlerwahrscheinlichkeiten von
BPSK und BFSK

Die Grafik zeigt die Bitfehlerwahrscheinlichkeit für eine binäre FSK–Modulation (BFSK) bei

kohärenter Demodulation bzw.
inkohärenter Demodulation

im Vergleich zur binären Phasenmodulation (BPSK). Es wird stets Orthogonalität vorausgesetzt. Bei kohärenter Demodulation kann hierbei der Modulationsindex $h$ ein Vielfaches von $0.5$ sein, so dass die mittlere Kurve auch für Minimum Shift Keying (MSK) gültig ist. Dagegen muss bei nichtkohärenter Demodulation einer FSK der Modulationsindex $h$ ein Vielfaches von $1$ sein.

Diesem Systemvergleich liegt der AWGN–Kanal zugrunde, gekennzeichnet durch das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$. Die Gleichungen für die Bitfehlerwahrscheinlichkeiten lauten bei

Binary Frequency Shift Keying (BFSK) mit kohärenter Demodulation:

$$p_{\rm B} = {\rm Q } \left ( \sqrt {{E_{\rm B}}/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Binary Frequency Shift Keying (BFSK) mit inkohärenter Demodulation:

$$p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- E_{\rm B}/{(2N_0) }}\hspace{0.05cm}.$$

Binary Phase Shift Keying (BPSK), nur kohärente Demodulation möglich:

$$p_{\rm B} = {\rm Q } \left ( \sqrt {{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0} }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Bei BPSK muss das logarithmierte Verhältnis $10 \cdot {\rm lg} \, (E_{\rm B}/N_0)$ mindestens $9.6 \, \rm dB$ betragen, damit die Bitfehlerwahrscheinlichkeit den Wert $p_{\rm B} = 10^{\rm -5}$ nicht überschreitet.

Bei binären Modulationsverfahren kann $p_{\rm B}$ auch durch $p_{\rm S}$ und $E_{\rm B}$ durch $E_{\rm S}$ ersetzt werden. Dann spricht man von der Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S}$ und der Symbolenergie $E_{\rm S}$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit nichtkohärenter Demodulation.
Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Trägerfrequenzsysteme mit kohärenter Demodultion.
Weitere Informationen finden Sie im Buch Modulationsverfahren.
Verwenden Sie die Näherung ${\rm lg}(2) \approx 0.3$.

Fragebogen

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \ = \ $

$\ \rm dB$

	die kohärente FSK mit Modulationsindex $\eta = 0.7$,
	die kohärente FSK mit Modulationsindex $\eta = 1$.

$10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 \ = \ $

$\ \rm dB$

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \%$

Musterlösung

Solution

(1) Ein Vergleich der Gleichungen auf der Angabenseite macht deutlich, dass bei binärer FSK mit kohärenter Demodulation das AWGN–Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ verdoppelt werden muss, damit die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei BPSK erreicht wird.

In anderen Worten: Die kohärente BFSK–Kurve liegt um $10 \cdot {\rm lg} \, (2) \approx 3 \ \rm dB$ rechts von der BPSK–Kurve. Um $p_{\rm B} ≤ 10^{\rm –5}$ zu garantieren, muss gelten:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.05cm} {E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\approx 9.6\,\,{\rm dB} + 3\,\,{\rm dB}\hspace{0.15cm} \underline{=12.6\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Die angegebene Gleichung gilt nicht nur für die MSK (diese ist eine FSK mit $h = 0.5$), sondern für jede Form von orthogonaler FSK.
Eine solche liegt vor, wenn der Modulationsindex $h$ ein ganzzahliges Vielfaches von $0.5$ ist, zum Beispiel für $h = 1$.
Mit $h = 0.7$ ergibt sich keine orthogonale FSK.
Es kann gezeigt werden, dass sich für $h = 0.7$ sogar eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit als bei orthogonaler FSK ergibt.
Mit $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ erreicht man hier sogar $p_{\rm B} \approx 10^{\rm –6}$, also eine Verbesserung um eine Zehnerpotenz.

(3) Aus der Umkehrfunktion der angegebenen Gleichung erhält man:

$$\frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}= {\rm ln}\hspace{0.05cm}\frac{1}{2 p_{\rm B}}= {\rm ln}(50000)\approx 10.82\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}= 21.64 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.09cm} {E_{\rm B}}/ {N_{\rm 0}}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 13.4\,\,{\rm dB}}\hspace{0.05cm}.$$

(4) Aus $10 \cdot {\rm lg} \, E_{\rm B}/N_0 = 12.6 \ \rm dB$ folgt:

$${E_{\rm B}} /{N_{\rm 0}}= 10^{1.26} \approx 16.8 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{E_{\rm B}} {2 \cdot N_{\rm 0}}\approx 8.4 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- 8.4}\hspace{0.15cm} \underline{ \approx 0.012 \%}\hspace{0.05cm}.$$

Das heißt: Bei gleichem $E_{\rm B}/N_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit bei der nichtkohärenten Demodulation gegenüber der kohärenten Demodulation gemäß Teilaufgabe (1) um etwa den Faktor 11 vergrößert.