Exercise 1.1: For Labeling Books

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ISBN–10? Oder ISBN–13?

Seit den 1960er Jahren werden alle Bücher mit einer 10–stelligen  International Standard Book Number  (ISBN) versehen. Die letzte Ziffer dieser so genannten  ISBN–10–Angabe  berechnet sich dabei entsprechend folgender Regel:

$$ z_{10}= \left ( \sum_{i=1}^{9} \hspace{0.2cm} i \cdot z_i \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 11 \hspace{0.05cm}.$$

Seit 2007 ist zusätzlich die Angabe gemäß dem Standard  ISBN–13  verpflichtend, wobei die Prüfziffer  $z_{\rm 13}$  sich dann wie folgt ergibt:

$$z_{13} = 10 - \left ( \sum_{i=1}^{12} \hspace{0.2cm} z_i \cdot 3^{(i+1)\mod 2} \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 10 \hspace{0.05cm}.$$

Nebenstehend sind einige beispielhafte „ISBNs” angegeben. Hierauf beziehen sich die folgenden Fragen.

Hinweis:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Zielsetzung der Kanalcodierung

Fragebogen

1

Um welchen Standard handelt es sich bei  $\text{Beispiel 1}$?

	ISBN–10,
	ISBN–13.

2

Entsprechend  $\text{Beispiel 2}$  sind zwei Ziffern einer ISBN–13 ausgelöscht. Kann man die ISBN rekonstruieren? Wenn Ja:   Geben Sie die ISBN–13 an.

	Ja,
	Nein.

3

Entsprechend  $\text{Beispiel 3}$  ist eine Ziffer einer ISBN–13 ausgelöscht. Kann die ISBN rekonstruiert werden? Wenn Ja:   Geben Sie die ISBN–13 an.

	Ja,
	Nein.

4

Wieviele verschiedene Werte  $(M)$  kann die Prüfziffer  $z_{\rm 10}$  bei ISBN–10 annehmen?

$M \ = \ $ $\ \rm$

5

Mitgeteilt als ISBN–10 wird 3–8273–7064–7. Welche Aussage trifft zu?

	Dies ist keine zulässige ISBN.
	Die ISBN könnte richtig sein.
	Die ISBN ist mit Sicherheit richtig.

Musterlösung

Solution

(1)  Allein durch Abzählen der ISBN–Ziffern erkennt man, dass Antwort 2 richtig ist.

Die gewichtete Summe über alle Ziffern ergibt ein Vielfaches von 10:

$$S \ = \ \hspace{-0.1cm} \sum_{i=1}^{13} \hspace{0.2cm} z_i \cdot 3^{(i+1) \hspace{-0.2cm} \mod 2} = (9+8+8+7+7+6+8) \cdot 1 + (7+3+2+3+0+4) \cdot 3 = 110\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} S \hspace{-0.2cm} \mod 10 \hspace{0.15cm}\underline {= 0} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Die Antwort ist Nein. Mit einer einzigen Prüfziffer lässt sich nur eine Auslöschung rekonstruieren.

(3)  Eine Ziffer kann rekonstruiert werden  ⇒   Ja. Für die Ziffer $z_{\rm 8}$ muss gelten:

$$[(9+8+4+3+0+1+2) \cdot 1 + (7+3+5+z_8+7+5) \cdot 3] \hspace{-0.2cm} \mod 10 = 0\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} [108 + 3z_8] \hspace{-0.2cm} \mod 10 = 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} z_8 \hspace{0.15cm}\underline {= 4} \hspace{0.05cm}.$$

(4)  Durch die Modulo–11–Operation kann $z_{10}$ die Werte $0, 1, \text{...} , 10$ annehmen ⇒ $\underline{M =11}$.

• Da „10” keine Ziffer ist, behilft man sich mit $z_{10} = \rm X$.
• Dies entspricht der römischen Darstellung der Zahl „10”.

(5)  Die Prüfbedingung lautet:

$$\ \ \ S= \left ( \sum_{i=1}^{10} \hspace{0.2cm} i \cdot z_i \right ) \hspace{-0.2cm} \mod 11 = 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Die gegebene ISBN erfüllt diese Bedingung:

$$3 \cdot 1 + 8 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 7 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 7 \cdot 6 + 0 \cdot 7 + 6 \cdot 8 + 4 \cdot 9 + 7 \cdot 10 = 264\hspace{0.3cm} ⇒\hspace{0.3cm} S= 264 \hspace{-0.3cm} \mod 11 = 0 \hspace{0.05cm}.$$

• Richtig ist die Aussage 2, da sich die Prüfsumme $S = 0$ auch bei mehr als einem Fehler ergeben könnte.