Zur Erzeugung von Walsh-Funktionen (neues Applet)

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Programmbeschreibung

Dieses Applet ermöglicht die Darstellung der Hadamard-Matrizen  $\mathbf{H}_J$  zur Konstruktion der Walsh-Funktionen  $w_j$. Dabei können der Faktor  $J$  der Bandspreizung sowie die Markierung der einzelnen Walsh-Funktionen (durch blaue Umrandung der Zeilen der Matrix) verändert werden.

Theoretischer Hintergrund

Anwendung

Die  Walsh-Funktionen  sind eine Gruppe von periodischen orthogonalen Funktionen. Ihr Anwendungsbereich in der digitalen Signalverarbeitung liegt vor allem in der Verwendung zur Bandspreizung bei CDMA-Systemen, beispielsweise dem Mobilfunkstandard UMTS.

• Aufgrund ihrer Orthogonalitätseigenschaften und der günstigen PKKF-Bedingungen (periodische KKF) stellen die Walsh-Funktionen für einen verzerrungsfreien Kanal und ein synchrones CDMA-System optimale Spreizfolgen dar. Nimmt man zwei beliebige Zeilen und bildet die Korrelation (Mittelung über die Produkte), so ergibt sich stets der PKKF–Wert Null.
• Bei asynchronem Betrieb (Beispiel:   Uplink eines Mobilfunksystems) oder De–Orthogonalisierung aufgrund von Mehrwegeausbreitung sind dagegen Walsh–Funktionen allein zur Bandspreizung nicht unbedingt geeignet – siehe  Aufgabe 5.4.
• Hinsichtlich PAKF (periodische AKF) sind diese Folgen weniger gut:   Jede einzelne Walsh–Funktion hat eine andere PAKF und jede einzelne PAKF ist ungünstiger als bei einer vergleichbaren PN–Sequenz. Das bedeutet:   Die Synchronisierung ist bei Walsh–Funktionen schwieriger als mit PN–Sequenzen.

Konstruktion

Die Konstruktion der Walsh-Funktionen kann rekursiv mithilfe der Hadamard-Matrizen erfolgen. Eine Hadamard-Matrix $\mathbf{H}_J$ der Ordnung $J$ ist eine $J\times J$-Matrix, die zeilenweise die $\pm 1$-Gewichte der Walsh-Folgen enthält. Die Ordnungen der Hadamard-Matrizen sind dabei auf Zweierpotenzen festgelegt, d.h. es gilt $J = 2^G$ für eine natürliche Zahl $G$. Ausgehend von $\mathbf{H}_1 = [+1]$ und

$$\begin{equation} \mathbf{H}_2 = \left[ \begin{array}{rr} +1 & +1\\ +1 & -1 \\ \end{array}\right] \end{equation}$$ gilt der folgende Zusammenhang zur Generierung weiterer Hadamard-Matrizen: $$\begin{equation} \mathbf{H}_{2N} = \left[ \begin{array}{rr} +\mathbf{H}_N & +\mathbf{H}_N\\ +\mathbf{H}_N & -\mathbf{H}_N \\ \end{array}\right] \end{equation}$$

$\text{Beispiel:}$  Die Grafik zeigt die Hadamard–Matrix  $\mathbf H_8$  (rechts) und die damit  $J -1$  konstruierbaren Spreizfolgen.

Walsh–Spreizfolgen  $(J = 8)$  und Hadamard–Matrix  $\mathbf H_8$ 

• $J - 1$ deshalb, da die ungespreizte Folge  $w_0(t)$  meist nicht verwendet wird.
• Beachten Sie bitte in der Grafik die farbliche Zuordnung zwischen den Zeilen der Hadamard–Matrix und den Spreizfolgen  $w_j(t)$.
• Die Matrix  $\mathbf H_4$  ist gelb hinterlegt.

Zur Handhabung des Applets

    (A)     Auswahl des Faktors zur Bandspreizung als Zweierpotenz von $G$

    (B)     Auswahl der jeweiligen Walsh-Funktion $w_j$

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am  Lehrstuhl für Nachrichtentechnik  der  Technischen Universität München  konzipiert und realisiert.

• Die erste Version wurde 2007 von  Thomas Großer  im Rahmen seiner Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer:  Günter Söder).
• 2018/2019 wurde das Programm von  Carolin Mirschina  (Ingenieurspraxis, Betreuer:  Tasnád Kernetzky ) auf „HTML5” umgesetzt und neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

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