Exercise 2.09: Reed–Solomon Parameters
Nebenstehend finden Sie eine unvollständige Liste möglicher Reed–Solomon–Codes, die bekanntlich auf einem Galoisfeld ${\rm GF}(q) = {\rm GF}(2^m)$ basieren. Der Parameter $m$ gibt an, mit wie vielen Bit ein RS–Codesymbol dargestellt wird. Es gilt:
- $m = 4$ (rote Schrift),
- $m = 5$ (blaue Schrift),
- $m = 6$ (grüne Schrift).
Ein Reed–Solomon–Code wird allgemein wie folgt bezeichnet: ${\rm RSC}\ (n, \ k, \ d_{\rm min})_q$.
Die Parameter haben folgende Bedeutung:
- $n$ gibt die Anzahl der Symbole eines Codewortes $\underline{c}$ an ⇒ Länge des Codes,
- $k$ gibt die Anzahl der Symbole eines Informationsblocks $\underline{u}$ an ⇒ Dimension des Codes,
- $d_{\rm min}$ kennzeichnet die minimale Distanz zwischen zwei Codeworten
$($bei allen Reed–Solomon–Codes gleich $n-k+1)$, - $q$ gibt einen Hinweis auf die Verwendung des Galoisfeldes ${\rm GF}(q)$.
Rechts daneben ist die Binärrepräsentation des gleichen Codes angegeben:
- Bei dieser Realisierung eines RS–Codes wird jedes Informations– und Codesymbol durch $m$ Bit dargestellt.
- Beispielsweise erkennt man aus der ersten Zeile, dass die minimale Distanz hinsichtlich der Bits ebenfalls $d_{\rm min} = 5$ ist, wenn in ${\rm GF}(2^m)$ die minimale Distanz $d_{\rm min} = 5$ beträgt.
- Damit können bis zu $t = 2$ Bitfehler (oder Symbolfehler) korrigiert und bis zu $e = 4$ Bitfehler (oder Symbolfehler) erkannt werden.
Hinweise:
- Die Aufgabe gehört zum Kapitel Definition und Eigenschaften von Reed–Solomon–Codes.
- Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel Erweiterungskörper.
Fragebogen
Musterlösung
- $$n = q -1 = 2^m -1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} m = 4 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 15} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.4cm}m = 5 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 31} \hspace{0.05cm},\hspace{0.4cm} m = 6 {\rm :}\hspace{0.2cm} n \hspace{0.15cm}\underline {= 63} \hspace{0.05cm}. $$
(2) Um $t$ Symbolfehler korrigieren zu können, muss die minimale Distanz $d_{\rm min} = 2t + 1$ betragen. Der Reed–Solomon–Code ist ein sogenannter MDS–Code (Maximum Distance Separable). Für diese gilt:
- $$d_{\rm min} = n-k+1 = 2t+1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}k = n -2t = 2^m - ( 2t+1) \hspace{0.05cm}. $$
Damit erhält man für den
- $\rm RSC \ 1$ (mit $m = 4, \ t = 4) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^4 - (2 \cdot 4 + 1) \ \underline{= 7}$,
- $\rm RSC \ 2$ (mit $m = 5, \ t = 8) \text{:} \hspace{0.2cm} k = 2^5 - (2 \cdot 8 + 1) \ \underline{= 15}$.
(3) Die Bezeichnung eines Reed–Solomon–Codes lautet ${\rm RSC} \, (n, \, k, \, d_{\rm min})_q$ mit $q = 2^m = n + 1$. Richtig sind die Lösungsvorschläge 1 und 4:
- $\rm RSC \ 1 \Rightarrow RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16}$,
- $\rm RSC \ 2 \Rightarrow RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32}$.
(4) Bezeichnet $d_{\rm min}$ die minimale Distanz eines Blockcodes, so können damit $e = d_{\rm min} - 1$ Symbolfehler erkannt und $t = e/2$ Symbolfehler korrigiert werden:
- ${\rm RSC} \ 1 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min} = \ \ 9, \ t = 4, \ \underline{e = 8}$,
- ${\rm RSC} \ 2 \text{:} \hspace{0.2cm} d_{\rm min} = 17, \ t = 8, \ \underline{e = 16}$.
(5) Richtig sind die beiden mittleren Lösungsvorschläge 2 und 3:
- Bei ${\rm RSC} \ 1 \, (m = 4)$ entsprechen $n = 15$ Codesymbolen aus $\rm GF(2^5)$ gleich $60$ Bit und $k = 7$ Informationssymbole genau $28$ Bit:
- $\rm RSC \ 1 \Rightarrow RSC \, (15, \, 7, \, 9)_{16} \Rightarrow RSC \, (60, \, 28, \, 9)_2$,
- $\rm RSC \ 2 \Rightarrow RSC \, (31, \, 15, \, 17)_{32} \Rightarrow RSC \, (155, \, 75, \, 17)_2$.
- Für die minimale Distanz auf Bitebene ⇒ $\rm GF(2)$ ergeben sich mit $d_{\rm min} = 9$ bzw. $d_{\rm min} = 17$ die gleichen Werte wie auf Symbolebene ⇒ $\rm GF(2^4)$ bzw. $\rm GF(2^5)$ (siehe Theorieteil).
