Exercise 3.6Z: Complex Exponential Function

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Darstellung im Spektralbereich:
komplexe Exponentialfunktion und geeignete Aufspaltung

In Zusammenhang mit den  Bandpass-Systemen  wird oft mit einseitigen Spektren gearbeitet. In der Abbildung sehen Sie eine solche einseitige Spektralfunktion  ${X(f)}$, die ein komplexes Zeitsignal  ${x(t)}$  zur Folge hat.

In der unteren Skizze ist  ${X(f)}$  in einen – bezüglich der Frequenz – geraden Anteil  ${G(f)}$  sowie einen ungeraden Anteil  ${U(f)}$  aufgespaltet.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation.
• Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo  Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation an Beispielen verdeutlicht.
• Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des  Zuordnungssatzes  und des  Verschiebungssatzes.
• Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter  $A = 1\, \text{V}$  und  $f_0 = 125 \,\text{kHz}.$

Fragebogen

1

Wie lautet die zu  $G(f)$  passende Zeitfunktion  $g(t)$? Wie groß ist  $g(t = 1 \, µ \text {s})$?

$\text{Re}\big[g(t = 1 \, µ \text {s})\big] \ = \ $  $\text{V}$

$\text{Im}\big[g(t = 1 \, µ \text {s})\big]\ = \ $  $\text{V}$

2

Wie lautet die zu  $U(f)$  passende Zeitfunktion  $u(t)$? Wie groß ist  $u(t = 1 \, µ \text {s})$?

$\text{Re}\big[u(t = 1 \, µ \text {s})\big]\ = \ $  $\text{V}$

$\text{Im}\big[u(t = 1 \, µ \text {s})\big]\ = \ $  $\text{V}$

3

Welche der Aussagen sind bezüglich des Signals  $x(t)$  zutreffend?

	Das Signal lautet  $x(t) = A \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f_0 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}t}$.
	In der komplexen Ebene dreht  $x(t)$  im Uhrzeigersinn.
	In der komplexen Ebene dreht  $x(t)$  entgegen dem Uhrzeigersinn.
	Für eine Umdrehung wird eine Mikrosekunde benötigt.

Musterlösung

Solution

(1)  $G(f)$ ist die Spektralfunktion eines Cosinussignals mit der Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, µ\text {s}$:

$$g( t ) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

Bei $t = 1 \, µ\text {s}$ ist der Signalwert gleich $A \cdot \cos(\pi /4)$:

• Der Realteil ist $\text{Re}[g(t = 1 \, µ \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$,
• der Imaginärteil ist $\text{Im}[g(t = 1 \, µ \text {s})] = \;\underline{0.}$

(2)  Ausgehend von der Fourierkorrespondenz

$$A \cdot {\rm \delta} ( f )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ A$$

erhält man durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes (im Frequenzbereich):

$$U( f ) = {A}/{2} \cdot \delta ( {f - f_0 } ) - {A}/{2} \cdot \delta ( {f + f_0 } )\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ u( t ) = {A}/{2} \cdot \left( {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} - {\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} } \right).$$

Nach dem Satz von Euler kann hierfür auch geschrieben werden:

$$u( t ) = {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

• Der Realteil dieses Signals ist stets Null.
• Bei $t = 1 \, µ\text {s}$ gilt für den Imaginärteil: $\text{Im}[g(t = 1 \, µ \text {s})] = \;\underline{0.707\, \text{V}}$.

(3)  Wegen $X(f) = G(f) + U(f)$ gilt auch:

$$x(t) = g(t) + u(t) = A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ) + {\rm{j}} \cdot A \cdot \sin( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$

Dieses Ergebnis kann mit dem Satz von Euler wie folgt zusammengefasst werden:

$$x(t) = A \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}f_0 t} .$$

Richtig sind die vorgegebenen Alternativen 1 und 3:

• Das Signal dreht in der komplexen Ebene in mathematisch positiver Richtung, also entgegen dem Uhrzeigersinn.
• Für eine Umdrehung benötigt der „Zeiger” die Periodendauer $T_0 = 1/f_0 = 8 \, µ\text {s}$.