Exercise 1.3: Measured Step Response

Gemessene Sprungantwort

An den Eingang eines linearen zeitinvarianten (LZI–)Übertragungssystems

mit dem Frequenzgang $H(f)$
und der Impulsantwort $h(t)$

wird ein sprungförmiges Signal angelegt (blaue Kurve):

$$x_1(t) = 4\hspace{0.05cm} {\rm V} \cdot \gamma(t).$$

Das gemessene Ausgangssignal $y_1(t)$ hat dann den unten dargestellten Verlauf.

Mit $T = 2 \,{\rm ms}$ kann dieses Signal im Bereich von $0$ bis $T$ wie folgt beschrieben werden:

$$y_1(t) = 2 \hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot\big[ {t}/{T} - 0.5 \cdot ({t}/{T})^2\big].$$

Ab $t = T $ ist $y_1(t)$ konstant gleich $1 \,{\rm V}$.

In der letzten Teilaufgabe (5) wird nach dem Ausgangssignal $y_2(t)$ gefragt, wenn am Eingang ein symmetrischer Rechteckimpuls $x_2(t)$ der Dauer $T = 2 \hspace{0.05cm} {\rm ms}$ anliegt (siehe roter Kurvenzug in der oberen Grafik).

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Systembeschreibung im Zeitbereich
Für den Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann mit $A = 2 \hspace{0.05cm} \text{V}$ auch geschrieben werden:

$$x_2(t) = A \cdot \big [\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big ].$$

Der Frequenzgang $H(f)$ des hier betrachteten LZI–Systems kann dem Angabenblatt zu Aufgabe 3.8 im Buch „Signaldarstellung” entnommen werden. Allerdings sind die Abszissen– und Ordinatenparameter entsprechend anzupassen.
Zur Lösung der vorliegenden Aufgabe wird $H(f)$ jedoch nicht explizit benötigt.

Fragebogen

	$H(f)$ beschreibt ein akausales System.
	$H(f)$ beschreibt ein kausales System.
	$H(f)$ beschreibt einen Tiefpass.
	$H(f)$ beschreibt einen Hochpass.

$H(f = 0) \ =\ $

$σ(t = \rm 1 \: ms) \ = \ $

$h(t = \rm 1 \: ms) \ =\ $

$\text {1/s}$

$h(t = \rm 2 \: ms) \ =\ $

$\text {1/s}$

$y_2(t = t_1) \ =\ $

$\text {V}$

$y_2(t = t_2) \ =\ $

$\text {V}$

$y_2(t = t_3) \ =\ $

$\text {V}$

$y_2(t = t_4) \ =\ $

$\text {V}$

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Für das Ausgangssignal gilt $y_1(t)=0$, solange das Eingangssignal $x_1(t) = 0$. Das bedeutet, dass hier ein kausales System vorliegt.
Zum gleichen Ergebnis hätte man allein durch die Aussage „das Ausgangssignal wurde gemessen” kommen können. Nur kausale Systeme sind realisierbar und nur bei realisierbaren Systemen kann etwas gemessen werden.
Das Eingangssignal $x_1(t)$ kann für sehr große Zeiten $(t \gg 0)$ als Gleichsignal interpretiert werden. Wäre $H(f)$ ein Hochpass, dann müsste $y_1(t)$ für $t → ∞$ gegen Null gehen. Das heißt: $H(f)$ stellt einen Tiefpass dar.

(2) Der Gleichsignalübertragungsfaktor kann aus $x_1(t)$ und $y_1(t)$ abgelesen werden, wenn der Einschwingvorgang abgeklungen ist:

$$H(f =0) = \frac{y_1(t \rightarrow \infty)}{x_1(t \rightarrow \infty)}= \frac{ {\rm 1\, V} }{ {\rm 4\, V} } \hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$

(3) Die Sprungantwort $σ(t)$ ist gleich dem Ausgangssignal $y(t)$, wenn am Eingang $x(t) = γ(t)$ anliegen würde.

Wegen $x_1(t) = 4 \hspace{0.05cm} \rm {V} · γ(t)$ gilt somit im Bereich von $0$ bis $T = 2 \ \rm ms$:

$$\sigma(t) = \frac{y_1(t)}{ {\rm 4\, V} } = 0.5 \cdot\big( {t}/{T} - 0.5 ({t}/{T})^2\big).$$

Zum Zeitpunkt $t = T = 2 \ \rm ms$ erreicht die Sprungantwort ihren Endwert $0.25$.
Für $t = T/2 = 1 \ \rm ms$ ergibt sich der Zahlenwert $3/16 \; \underline{\: = \: 0.1875}$.
Beachten Sie bitte, dass die Sprungantwort $σ(t)$ ebenso wie die Sprungfunktion $γ(t)$ keine Einheit besitzt.

rechts

(4) Die Sprungantwort $σ(t)$ ist das Integral über die Impulsantwort $h(t)$. Damit ergibt sich $h(t)$ aus $σ(t)$ durch Differentiation nach der Zeit. Im Bereich $0 < t < T$ gilt deshalb:

$$h(t) = \frac{{\rm d}\hspace{0.1cm}\sigma(t)}{{\rm d}t}= 0.5 \cdot\left( \frac{1}{T} - 0.5 (\frac{2t}{T^2})\right) = \frac{0.5}{T} \cdot (1- \frac{t}{T})$$

$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 1\, ms}) = h(t = T/2) = \frac{0.25}{T} \hspace{0.15cm}\underline{= 125 \cdot{1}/{ {\rm s} } },$$

$$\Rightarrow \hspace{0.2cm} h(t = {\rm 2\, ms}) = h(t = T) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$

Für $t < 0$ und $t ≥ T$ ist stets $h(t)=0$. Der Wert $h(t = 0)$ bei exakt $t = 0$ muss aus dem Mittelwert zwischen links- und rechtsseitigem Grenzwert ermittelt werden:

$$h(t=0) = {1}/{2} \cdot \left[ \lim_{\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm}0} h(- \varepsilon)+ \lim_{\varepsilon \hspace{0.03cm} \to \hspace{0.03cm} 0} h(+ \varepsilon)\right] = \left[ 0 + {0.5}/{T}\right] = {0.25}/{T}= 250 \cdot{1}/{ {\rm s} }.$$

rechts

(5) Der Rechteckimpuls $x_2(t)$ kann auch als die Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprünge dargestellt werden:

$$x_2(t) = A \cdot \big[\gamma(t + {T}/{2}) - \gamma(t - {T}/{2})\big].$$

Damit ist das Ausgangssignal gleich der Differenz zweier um $±T/2$ verschobener Sprungantworten:

$$y_2(t) = A \cdot \big[\sigma(t + {T}/{2}) - \sigma(t - {T}/{2})\big].$$

Für $t = \: -T/2 = -1\ \rm ms$ gilt $y_2(t) \;\underline{ = 0}$.

Für die weiteren betrachteten Zeitpunkte erhält man wie in der Grafik angegeben:

$$y_2(t = 0) = A \cdot \big[\sigma(0.5 \cdot T) - \sigma(-0.5 \cdot T)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.1875 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.375\, V}},$$

$$y_2(t = T/2) = y_2(t = 1\,{\rm ms}) =A \cdot \big[\sigma( T) - \sigma(0)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \left[0.25 - 0\right] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.5\, V}},$$

$$y_2(t = T) = A \cdot \big[\sigma(1.5 \cdot T) - \sigma(0.5 \cdot T)\big] = {\rm 2\, V}\cdot \big[0.25 - 0.1875\big] \hspace{0.15cm}\underline{= {\rm 0.125\, V}}.$$