Exercise 1.7Z: Overall Systems Analysis

System mit Gaußtiefpässen und nichtlinearer Kennlinie

Ein Gesamtsystem $G$ mit Eingang $w(t)$ und Ausgang $z(t)$ besteht aus drei Komponenten:

Die erste Komponente ist ein Gaußtiefpass mit der Impulsantwort

$$h_1(t) = \frac{1}{\Delta t_1} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t/\Delta t_1)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta t_1= {0.3\,\rm ms}.$$

Danach folgt eine Nichtlinearität mit der Kennlinie

$$y(t) = \left\{ \begin{array}{c} +{8\,\rm V} \\ 2 \cdot x(t) \\ {-8\,\rm V} \\ \end{array} \right.\quad \quad \begin{array}{*{10}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {x(t) \ge +{4\,\rm V}}, \\ {{-4\,\rm V} < x(t) < +{4\,\rm V}}, \\ {x(t)\le {-4\,\rm V}}. \\ \end{array}$$

⇒ Das Eingangssignal $x(t)$ der Nichtlinearität wird um den Faktor $2$ verstärkt und – falls nötig – auf den Bereich $±8 \ \rm V$ begrenzt.

Am Ende der Kette folgt wieder ein Gaußtiefpass, der durch seinen Frequenzgang gegeben ist:

$$H_3(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f_3)^2}, \hspace{0.5cm} \Delta f_3= {2.5\,\rm kHz}.$$

Das Eingangssignal $w(t)$ des Gesamtsystems sei ein Gaußimpuls mit Amplitude $5 \ \rm V$ und variabler (äquivalenter) Dauer $T$:

$$w(t) = {5\,\rm V}\cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(t/T)^2}.$$

Zu untersuchen ist, in welchem Bereich die äquivalente Impulsdauer $T$ dieses Gaußimpulses variieren kann, damit das Gesamtsystem durch den Frequenzgang

$$H_{\rm G}(f) = K \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(f/\Delta f_{\rm G})^2}$$

vollständig beschrieben wird. Der Index „G” bei Frequenzgang und Bandbreite steht hierbei für „Gesamtsystem”.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Einige systemtheoretische Tiefpassfunktionen.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Gaußtiefpass.

Fragebogen

	Es besteht ein linearer Zusammenhang zwischen $w(t)$ und $z(t)$.
	$H_3(f)$ muss schmalbandiger sein als $H_1(f)$.
	Das Signal $x(t)$ darf betragsmäßig nicht größer sein als $4 \ \rm V$.

$T_{\rm max} \ = \ $

$\ \rm ms$

$K \ = \ $

$\Delta f_{\rm G} = \ $

$\ \rm kHz$

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Antworten1 und 3:

Die erste Aussage ist zutreffend: Nur für ein lineares System kann ein Frequenzgang angegeben werden.
Damit dies hier möglich ist, darf die Nichtlinearität keine Rolle spielen.
Das heißt, es muss sicher gestellt sein, dass $|x(t)|$ nicht größer als $4 \ \rm V$ ist.
Dagegen ist die zweite Aussage nicht zutreffend: Die Bandbreite von $H_3(f)$ hat keinen Einfluss darauf, ob die Nichtlinearität elimimiert werden kann oder nicht.

(2) Der erste Gaußtiefpass wird im Frequenzbereich wie folgt beschrieben:

$$X(f) = W(f) \cdot H_1(f) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f \cdot T)^2} \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_1)^2} = {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi f^2 (T^2 + \Delta t_1^2)}= {5\,\rm V}\cdot T \cdot {\rm e}^{-\pi(f/\Delta f_x)^2}.$$

Hierbei bezeichnet $Δf_x$ die äquivalente Bandbreite von $X(f)$.
Der Signalwert bei $t = 0$ ist gleich der Spektralfläche und gleichzeitig der Maximalwert des Signals.
Dieser soll nicht größer werden als $4 \ \rm V$:

$$x_{\rm max} = x(t =0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x \le {4\,\rm V}.$$

Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich:

$$\frac{1}{T \cdot \Delta f_x} > \frac{5}{4}\hspace{0.1cm} \Rightarrow \hspace{0.1cm} \frac{1}{T^2 \cdot \Delta f_x^2} > \frac{25}{16} \Rightarrow \hspace{0.3cm}\frac{T^2 + \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{25}{16}$$

$$ \Rightarrow \hspace{0.1cm}\frac{ \Delta t_1^2}{T^2} > \frac{9}{16}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\frac{T^2}{ \Delta t_1^2} \le \frac{16}{9}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} T \le \frac{4}{3} \cdot \Delta t_1 \hspace{0.15cm}\underline{= {0.4\,\rm ms}}.$$

Die Kontrollrechnung ergibt:

$$\Delta t_x = \sqrt{T^2 + \Delta t_1^2} = \sqrt{({0.4\,\rm ms})^2 + ({0.3\,\rm ms})^2} = {0.5\,\rm ms} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_x = {1}/{\Delta t_x}= {2\,\rm kHz}$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} x(t=0) = {5\,\rm V}\cdot T \cdot \Delta f_x = {5\,\rm V}\cdot {0.4\,\rm ms} \cdot {2\,\rm kHz} = {4\,\rm V}.$$

(3) Die Gaußtiefpässe erfüllen die Bedingung $H_1(f = 0) = H_3(f = 0) = 1$.

Unter Berücksichtigung der Verstärkung des zweiten Blocks im linearen Bereich erhält man somit für die Gesamtverstärkung:

$$\underline{K \ = \ 2}.$$

Für die äquivalente Impulsdauer des Gesamtsystems gilt:

$$\Delta t_{\rm G} = \sqrt{\Delta t_1^2 + \frac{1}{\Delta f_3^2}} = \sqrt{({0.3\,\rm ms})^2 + \left( \frac{1}{{2.5\,\rm kHz}}\right)^2}={0.5\,\rm ms} \; \; \Rightarrow \; \; \Delta f_{\rm G} = {1}/{\Delta t_{\rm G}} \hspace{0.15cm}\underline{= {2\,\rm kHz}}.$$