Exercise 2.2: Multi-Level Signals

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Zwei ähnliche Mehrstufensignale

Das Rechtecksignal  $x(t)$  sei dimensionslos und kann nur die Momentanwerte  $0, \ 1, \ 2, \ \text{...} \ , \ M-2, \ M-1$  mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen. Die obere Grafik zeigt dieses Signal für den Sonderfall  $M = 5$.

Auch das Rechtecksignal  $y(t)$  ist  $M$–stufig, aber mittelwertfrei und auf den Bereich von  $y > -y_0$  bis  $y < +y_0$  beschränkt.

In der unteren Grafik sehen Sie das Signal  $y(t)$, wiederum für die Stufenzahl  $M = 5$.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Momente einer diskreten Zufallsgröße.

• Eine Zusammenfassung der Theamatik bietet das Lernvideo 
  Momentenberechnung bei diskreten Zufallsgrößen.
• Setzen Sie für numerische Berechnungen  $y_0 = 2\hspace{0.05cm}V$.

Fragebogen

1

Wie groß ist der lineare Mittelwert  $m_x$  der Zufallsgröße  $x$  für  $M= 5$?

$m_x \ = \ $

2

Wie groß ist die Varianz  $\sigma_x^2$  der Zufallsgröße  $x$  allgemein und für  $M= 5$?

$\sigma_x^2\ = \ $

3

Berechnen Sie den Mittelwert  $m_y$  der Zufallsgröße  $y$  für  $M= 5$.

$m_y \ = \ $ $\ \rm V$

4

Wie groß ist die Varianz  $\sigma_y^2$  der Zufallsgröße  $y$?  Berücksichtigen Sie dabei das Ergebnis aus  (2).  Welcher Wert ergibt sich wiederum für  $M= 5$?

$\sigma_y^2\ = \ $ $\ \rm V^2$

Musterlösung

Solution

(1)  Man erhält durch Mittelung über alle möglichen Signalwerte für den linearen Mittelwert:

$$m_{\it x}=\rm \sum_{\mu=0}^{\it M-{\rm 1}} \it p_\mu\cdot x_{\mu}=\frac{\rm 1}{\it M} \cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\it M-\rm 1}\mu=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M}{\rm 2}=\frac{\it M-\rm 1}{\rm 2}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der lineare Mittelwert zu  $m_x \;\underline{= 2}$.

(2)  Analog gilt für den quadratischen Mittelwert:

$$m_{\rm 2\it x}= \rm \sum_{\mu=0}^{\it M -\rm 1}\it p_\mu\cdot x_{\mu}^{\rm 2}=\frac{\rm 1}{\it M}\cdot \sum_{\mu=\rm 0}^{\rm M-1}\mu^{\rm 2} = \frac{\rm 1}{\it M}\cdot\frac{(\it M-\rm 1)\cdot \it M\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6} = \frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich der quadratische Mittelwert zu $m_{2x} {=6}$. Daraus kann die Varianz mit dem Satz von Steiner berechnet werden:

$$\sigma_x^{\rm 2}=m_{\rm 2\it x}-m_x^{\rm 2}=\frac{(\it M-\rm 1)\cdot(\rm 2\it M-\rm 1)}{\rm 6}-\frac{(\it M-\rm 1)^{\rm 2}}{\rm 4}=\frac{\it M^{\rm 2}-\rm 1}{\rm 12}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich für die Varianz  $\sigma_x^2 \;\underline{= 2}$.

(3)  Aufgrund der Symmetrie von $y$ gilt unabhängig von $M$:

$$m_x \;\underline{= 2}.$$

(4)  Zwischen $x(t)$ und $y(t)$ gilt folgender Zusammenhang:

$$y(t)=\frac{2\cdot y_{\rm 0}}{M-\rm 1}\cdot \big[x(t)-m_x\big].$$

Daraus folgt für die Varianzen:

$$\sigma_y^{\rm 2}=\frac{4\cdot y_{\rm 0}^{\rm 2}}{( M - 1)^{\rm 2}}\cdot \sigma_x^{\rm 2}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot (M^{\rm 2}-1)}{3\cdot (M- 1)^{\rm 2}}=\frac{y_{\rm 0}^{\rm 2}\cdot ( M+ 1)}{ 3\cdot ( M- 1)}.$$

Im Sonderfall $M= 5$ ergibt sich hierfür:

$$\it \sigma_y^{\rm 2}= \frac {\it y_{\rm 0}^{\rm 2} \cdot {\rm 6}}{\rm 3 \cdot 4}\hspace{0.15cm} \underline{=\rm2\,V^{2}}.$$