Exercise 2.5: "Binomial" or "Poisson"?

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Kenngrößen von  $z_1$  und  $z_2$

Betrachtet werden zwei diskrete Zufallsgrößen  $z_1$  und  $z_2$, die (mindestens) alle ganzzahligen Werte zwischen  $0$  und  $5$  (einschließlich dieser Grenzen) annehmen können.  Die Wahrscheinlichkeiten dieser Zufallsgrößen sind in nebenstehender Tabelle angegeben.  Eine der beiden Zufallsgrößen ist allerdings nicht auf den angegebenen Wertebereich begrenzt.

Weiterhin ist bekannt, dass

• eine der Größen binomialverteilt ist, und

• die andere eine Poissonverteilung beschreibt.

Nicht bekannt ist allerdings, welche der beiden Größen  $(z_1$  oder  $z_2)$  binomialverteilt und welche poissonverteilt ist.

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Poissonverteilung.
• Bezug genommen wird aber auch auf das vorherige Kapitel  Binomialverteilung.
• Zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse können Sie das interaktive Applet  Binomial– und Poissonverteilung  benutzen.

Fragebogen

1

Ermitteln Sie aus den Wahrscheinlichkeiten, den Mittelwerten und den Streuungen, ob  $z_1$  oder  $z_2$  poissonverteilt ist.

	$z_1$  ist poissonverteilt und  $z_2$  ist binomialverteilt.
	$z_1$  ist binomialverteilt und  $z_2$  ist poissonverteilt.

2

Welche Rate  $\lambda$  weist die Poissonverteilung auf?

$\lambda \ = \ $

3

Die Werte der Poissonverteilung sind nicht auf den Bereich  $0$, ... , $5$  begrenzt.
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die poissonverteilte Größe exakt gleich  $6$  ist bzw. größer als  $6$  ist?

${\rm Pr}(z_{\rm Poisson} = 6) \ = \ $

${\rm Pr}(z_{\rm Poisson} > 6) \ = \ $

4

Betrachten Sie nun die Binomialverteilung.  Geben Sie deren charakteristische Wahrscheinlichkeit  $p$  an.

$p \ = \ $

5

Wie groß ist damit der Parameter  $I$  der Binomialverteilung?  Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand der Wahrscheinlichkeit  $\rm Pr(0)$.

$I \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

• Bei der Poissonverteilung sind Mittelwert  $m_1$  und Varianz  $\sigma^2$  gleich.
• Die Zufallsgröße  $z_1$  erfüllt diese Bedingung im Gegensatz zur Zufallsgröße  $z_2$.

(2)  Bei der Poissonverteilung ist zudem der Mittelwert gleich der Rate.  Deshalb muss  $\underline{\lambda = 2}$  gelten.

(3)  Die entsprechende Wahrscheinlichkeit lautet mit  $z_{\rm Poisson} = z_1$:

$${\rm Pr}(z_1 = 6)=\frac{2^6}{6!}\cdot e^{-2}\hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.012}$$

$${\rm Pr}(z_1 > 6)=1 -{\rm Pr}(0) -{\rm Pr}(1) - \ \text{...} \ - {\rm Pr}(6)\hspace{0.15cm} \underline{\approx 0.004}.$$

(4)  Für die Varianz der Binomialverteilung gilt:

$$\sigma^{2}= I\cdot p\cdot (1- p)= m_{\rm 1}\cdot ( 1- p).$$

• Die charakteristische Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung ergibt sich aus der Varianz  $\sigma^2 = 1.095$  und dem Mittelwert  $m_1 = 2$  gemäß der Gleichung:

$$ 1- p = \frac{\sigma^{2}}{m_1}= \frac{1.2}{2} = 0.6\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p \hspace{0.15cm} \underline{= 0.4}.$$

(5)  Aus dem Mittelwert  $m_1 = 2$  folgt weiterhin  $\underline{I= 5}.$

• Die Wahrscheinlichkeit für den Wert „0” müsste mit diesen Parametern wie folgt lauten:

$${\rm Pr}(z_2 = 0)=\left({5 \atop {0}}\right)\cdot p^{\rm 0}\cdot (1 - p)^{\rm 5-0}=0.6^5=0.078.$$

• Das bedeutet:   Unsere Ergebnisse sind richtig.