Exercise 3.11: Chebyshev's Inequality

Beispielhafte Tschebyscheffsch–Schranke

Ist über eine Zufallsgröße $x$ nichts weiter bekannt als nur

der Mittelwert $m_x$ und
die Streuung $\sigma_x$,

so gibt die Tschebyscheffsche Ungleichung eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit an, dass $x$ betragsmäßig mehr als einen Wert $\varepsilon$ von seinem Mittelwert $m_x$ abweicht.

Diese Schranke lautet:

$${\rm Pr}(|x-m_x|\ge \varepsilon) \le {\sigma_x^{\rm 2}}/{\varepsilon^{\rm 2}}.$$

Zur Erläuterung:

In der Grafik ist diese obere Schranke rot eingezeichnet.
Der grüne Kurvenverlauf zeigt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit bei der Gleichverteilung.
Die blauen Punkte gelten für die Exponentialverteilung.

Aus dieser Darstellung ist zu erkennen, dass die Tschebyscheffsche Ungleichung nur eine sehr grobe Schranke darstellt.
Sie sollte nur dann verwendet werden, wenn von der Zufallsgröße wirklich nur der Mittelwert und die Streuung bekannt sind.

Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Weitere Verteilungen.
Insbesondere wird auf die Seite Tschebyscheffsche Ungleichung Bezug genommen .

Rechts sind Werte der komplementären Gaußschen Fehlerfunktion ${\rm Q}_x$ angegeben.

Fragebogen

	Vorstellbar ist eine Zufallsgröße mit ${\rm Pr}(\|x -m_x> \| \ge 3\sigma_x) = 1/4$.
	„Tschebyscheff” liefert für $\varepsilon < \sigma_x$ keine Information.
	${\rm Pr}(\|x -m_x> \| \ge \sigma_x)$ ist für große $\varepsilon$ identisch Null, wenn $x$ begrenzt ist.

${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $

$\ \%$

${\rm Pr}(|x -m_x | \ge 3 \sigma_x) \ = \ $

$\ \%$

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Die erste Aussage ist falsch. Die Tschebyscheffsche Ungleichung liefert hier die Schranke $1/9$.
Bei keiner Verteilung kann die hier betrachtete Wahrscheinlichkeit gleich $1/4$ sein.
Für $\varepsilon < \sigma_x$ liefert Tschebyscheff eine Wahrscheinlichkeit größer als $1$. Diese Information ist nutzlos.
Die letzte Aussage ist zutreffend. Beispielsweise gilt bei der Gleichverteilung:

$${\rm Pr}(| x- m_x | \ge \varepsilon)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 1-{\varepsilon}/{\varepsilon_{\rm 0}} & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.1cm}{\it \varepsilon<\varepsilon_{\rm 0}=\sqrt{\rm 3}\cdot\sigma_x},\\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right. $$

(2) Bei der Gaußverteilung gilt:

$$p_k={\rm Pr}(| x-m_x| \ge k\cdot\sigma_{x})=\rm 2\cdot \rm Q(\it k).$$

Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte (in Klammern: Schranke nach Tschebyscheff):

$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) = 31.7 \% \hspace{0.3cm}(100 \%),$$

$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x}) = 4.54 \% \hspace{0.3cm}(25 \%),$$

$$k= 3\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.26 \%} \hspace{0.3cm}(11.1 \%),$$

$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = 0.0064 \% \hspace{0.3cm}(6.25 \%).$$

(3) Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit setzen wir $\lambda; = 1$ ⇒ $m_x = \sigma_x = 1$. Dann gilt:

$${\rm Pr}(|x - m_x| \ge k\cdot\sigma_{x}) = {\rm Pr}(| x-1| \ge k).$$

Da in diesem Sonderfall die Zufallsgröße stets $x >0$ ist, gilt weiter:

$$p_k= {\rm Pr}( x \ge k+1)=\int_{k+\rm 1}^{\infty}\hspace{-0.15cm} {\rm e}^{-x}\, {\rm d} x={\rm e}^{-( k + 1)}.$$

Daraus ergeben sich folgende Zahlenwerte für die Exponentialverteilung:

$$k= 1\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge \sigma_{x}) \rm e^{-2}= \rm 13.53\%,$$

$$k= 2\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 2 \cdot \sigma_{x})= \rm \rm e^{-3}=\rm 4.97\% ,$$

$$k= 3\text\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 3 \cdot\sigma_{x})= \rm \rm e^{-4}\hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 1.83\% },$$

$$k= 4\text{:}\hspace{0.5cm} {\rm Pr}(|x-m_x| \ge 4 \cdot \sigma_{x}) = \rm e^{-5}= \rm 0.67\%.$$