Exercise 4.4: Conventional Entropy and Differential Entropy

Zweimal Gleichverteilung

Wir betrachten die beiden wertkontinuierlichen Zufallsgrößen $X$ und $Y$ mit den Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_X(x)$ und $f_Y(y)$. Für diese Zufallsgrößen kann man

die herkömmlichen Entropien $H(X)$ bzw. $H(Y)$ nicht angeben,
jedoch aber die differentiellen Entropien $h(X)$ und $h(Y)$.

Wir betrachten außerdem zwei wertdiskrete Zufallsgrößen:

Die Zufallsgröße $Z_{X,\hspace{0.05cm}M}$ ergibt sich durch (geeignete) Quantisierung der Zufallsgröße $X$ mit der Quantisierungsstufenzahl $M$
⇒ Quantisierungsintervallbreite ${\it \Delta} = 0.5/M$.
Die Zufallsgröße $Z_{Y,\hspace{0.05cm}M}$ ergibt sich nach Quantisierung der Zufallsgröße $Y$ mit der Quantisierungsstufenzahl $M$
⇒ Quantisierungsintervallbreite ${\it \Delta} = 2/M$.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen dieser diskreten Zufallsgrößen setzen sich jeweils aus $M$ Diracfunktionen zusammen, deren Impulsgewichte durch die Intervallflächen der zugehörigen wertkontinuierlichen Zufallsgrößen gegeben sind.

Daraus lassen sich die Entropien $H(Z_{X,\hspace{0.05cm}M})$ und $H(Z_{Y,\hspace{0.05cm}M})$ in herkömmlicher Weise entsprechend dem Kapitel Wahrscheinlichkeitsfunktion und Entropie bestimmen.

Im Abschnitt Entropie wertkontinuierlicher Zufallsgrößen nach Quantisierung wurde auch eine Näherung angegeben. Beispielsweise gilt:

$$H(Z_{X, \hspace{0.05cm}M}) \approx -{\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ({\it \Delta}) + h(X)\hspace{0.05cm}. $$

Im Laufe der Aufgabe wird sich zeigen, dass bei rechteckförmiger WDF ⇒ Gleichverteilung diese „Näherung” das gleiche Ergebnis liefert wie die direkte Berechnung.
Aber im allgemeinen Fall – so im $\text{Beispiel 2}$ mit dreieckförmiger WDF – stellt obige Gleichung tatsächlich nur eine Näherung dar, die erst im Grenzfall ${\it \Delta} \to 0$ mit der tatsächlichen Entropie $H(Z_{X,\hspace{0.05cm}M})$ übereinstimmt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Differentielle Entropie.
Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe finden Sie insbesondere auf der Seite Entropie wertkontinuierlicher Zufallsgrößen nach Quantisierung .

Fragebogen

$ h(X) \ = \ $

$\ \rm bit$

$ h(Y) \ = \ $

$\ \rm bit$

$H(Z_{X,\hspace{0.05cm}M=4})\ = \ $

$\ \rm bit$

$H(Z_{X,\hspace{0.05cm}M=4})\ = \ $

$\ \rm bit$

$H(Z_{Y,\hspace{0.05cm}M=4})\ = \ $

$\ \rm bit$

$H(Z_{Y,\hspace{0.05cm}M=8})\ = \ $

$\ \rm bit$

	Die Entropie einer wertdiskreten Zufallsgröße $Z$ ist stets $H(Z) \ge 0$.
	Die differenzielle Entropie einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße $X$ ist stets $h(X) \ge 0$.

Musterlösung

Solution

(1) Gemäß der entsprechenden Theorieseite gilt mit $x_{\rm min} = 0$ und $x_{\rm max} = 1/2$:

$$h(X) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (x_{\rm max} - x_{\rm min}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (1/2) \hspace{0.15cm}\underline{= - 1\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$

(2) Mit $y_{\rm min} = -1$ und $y_{\rm max} = +1$ ergibt sich dagegen für die differentielle Entropie der Zufallsgröße $Y$:

$$h(Y) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (y_{\rm max} - y_{\rm min}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (2) \hspace{0.15cm}\underline{= + 1\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}. $$

Quantisierte Zufallsgröße $Z_{X, \ M = 4}$

(3) Die nebenstehende Grafik verdeutlicht die bestmögliche Quantisierung der Zufallsgröße $X$ mit der Quantisierungsstufenzahl $M = 4$ ⇒ Zufallsgröße $Z_{X, \ M = 4})$:

Die Intervallbreite ist hier gleich ${\it \Delta} = 0.5/4 = 1/8$.
Die möglichen Werte (jeweils in der Intervallmitte) sind $z \in \{0.0625,\ 0.1875,\ 0.3125,\ 0.4375\}$.
Die direkte Entropieberechnung ergibt mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_Z(Z) = \big [1/4,\ \text{...} , \ 1/4 \big]$:

$$H(Z_{X, \ M = 4}) = {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (4) \hspace{0.15cm}\underline{= 2\,{\rm bit}} \hspace{0.05cm}.$$

(4) Mit der Näherung erhält man unter Berücksichtigung des Ergebnisses der Teilaufgabe (1):

$$H(Z_{X,\hspace{0.05cm} M = 4}) \approx -{\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ({\it \Delta}) + h(X) = 3\,{\rm bit} +(- 1\,{\rm bit})\hspace{0.15cm}\underline{= 2\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}. $$

Hinweis: Nur bei der Gleichverteilung liefert die Näherung genau das gleiche Ergebnis wie die direkte Berechnung, also die tatsächliche Entropie.

Quantisierte Zufallsgröße $Z_{Y, \ M = 4}$

(5) Aus der zweiten Grafik erkennt man die Gemeinsamkeiten / Unterschiede zur Teilaufgabe (3):

Der Quantisierungsparameter ist nun ${\it \Delta} = 2/4 = 1/2$.
Die möglichen Werte sind nun $z \in \{\pm 0.75,\ \pm 0.25\}$.
Somit liefert hier die „Näherung” (ebenso wie die direkte Berechnung) wieder das Ergebnis:

$$H(Z_{Y,\hspace{0.05cm} M = 4}) \approx -{\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ({\it \Delta}) + h(Y) = 1\,{\rm bit} + 1\,{\rm bit}\hspace{0.15cm}\underline{= 2\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$

Quantisierte Zufallsgröße $Z_{Y, \ M = 8}$

(6) Im Gegensatz zur Teilaufgabe (5) gilt nun ${\it \Delta} = 1/4$. Daraus folgt für die „Näherung”:

$$H(Z_{Y,\hspace{0.05cm} M = 8}) \approx -{\rm log}_2 \hspace{0.1cm} ({\it \Delta}) + h(Y) = 2\,{\rm bit} + 1\,{\rm bit}\hspace{0.15cm}\underline{= 3\,{\rm bit}}\hspace{0.05cm}.$$

Man erhält wieder das gleiche Ergebnis wie bei der direkten Berechnung.

(7) Richtig ist nur die Aussage 1:

Die Entropie $H(Z)$ einer diskreten Zufallsgröße $Z = \{z_1, \ \text{...} \ , z_M\}$ kann nie negativ werden.
Der Grenzfall $H(Z) = 0$ ergibt sich zum Beispiel für ${\rm Pr}(Z = z_1) = 1$ und ${\rm Pr}(Z = z_\mu) = 0$ für $2 \le \mu \le M$.

Dagegen kann die differentielle Entropie $h(X)$ einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße $X$ wie folgt sein:
- $h(X) < 0$ (Teilaufgabe 1),
- $h(X) > 0$ (Teilaufgabe 2), oder auch
- $h(X) = 0$ (zum Beispiel für $x_{\rm min} = 0$ und $x_{\rm max} = 1$.