Korrelation und Regressionsgerade

Programmbeschreibung

Theoretischer Hintergrund

Erwartungswerte von 2D–Zufallsgrößen und Korrelationskoeffizient

Wir betrachten eine zweidimensionale $\rm (2D)$–Zufallsgröße $(X,\ Y)$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ $f_{XY}(x, y)$, wobei zwischen den Einzelkomponenten $X$ und $Y$ statistische Abhängigkeiten bestehen. Ein Sonderfall ist die Korrelation.

$\text{Definition:}$ Unter Korrelation versteht man eine lineare Abhängigkeit zwischen den Einzelkomponenten $X$ und $Y$.

Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.
Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.

Für das Folgende setzen wir voraus, dass $X$ und $Y$ mittelwertfrei seien ⇒ ${\rm E}\big [ X \big ] = {\rm E}\big [ Y \big ]=0$. Zur Beschreibung der Korrelation genügen dann folgende Erwartungswerte:

die Varianzen in $X$– bzw. in $Y$–Richtung:

$$\sigma_X^2= {\rm E}\big [ X^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}x^2 \cdot f_{X}(x) \, {\rm d}x\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\sigma_Y^2= {\rm E}\big [Y^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}y^2 \cdot f_{Y}(y) \, {\rm d}y\hspace{0.05cm};$$

die Kovarianz zwischen den Einzelkomponenten $X$ und $Y$:

$$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\ \cdot y \cdot f_{XY}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$

Bei statististischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten $X$ und $Y$ ist die Kovarianz $\mu_{XY} \equiv 0$.

Das Ergebnis $\mu_{XY} = 0$ ist auch bei statistisch abhängigen Komponenten $X$ und $Y$ möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also linear unabhängig sind.
Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung $Y=X^2.$

Man spricht dann von vollständiger Korrelation, wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen $X$ und $Y$ durch die Gleichung $Y = K · X$ ausgedrückt wird.

Dann ergibt sich für die Kovarianz:

$\mu_{XY} = σ_X · σ_Y$ bei positivem Wert von $K$,
$\mu_{XY} = -σ_X · σ_Y$ bei negativem $K$–Wert.

Deshalb verwendet man häufig als Beschreibungsgröße anstelle der Kovarianz den so genannten Korrelationskoeffizienten.

$\text{Definition:}$ Der Korrelationskoeffizient ist der Quotient aus der Kovarianz $\mu_{XY}$ und dem Produkt der Effektivwerte $σ_X$ und $σ_Y$ der beiden Komponenten:

$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

Der Korrelationskoeffizient $\rho_{XY}$ weist folgende Eigenschaften auf:

Aufgrund der Normierung gilt stets $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
Sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ unkorreliert, so ist $ρ_{XY} = 0$.
Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen $X$ und $Y$ ist $ρ_{XY}= ±1$ ⇒ vollständige Korrelation.
Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem $X$–Wert im statistischen Mittel auch $Y$ größer ist als bei kleinerem $X$.
Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass $Y$ mit steigendem $X$ im Mittel kleiner wird.

2D-WDF $f_{XY}(x, y)$ sowie die zugehörigen Randwahrscheinlichkeitsdichten $f_{X}(x)$ und $f_{Y}(y)$

$\text{Beispiel 1:}$ Die 2D–Zufallsgröße $(X,\ Y)$ sei diskret und kann nur vier verschiedene Werte annehmen:

$(+0.5,\ 0)$ sowie $(-0.5,\ 0)$ jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $0.3$,
$(+1,\ +\hspace{-0.09cm}1)$ sowie $(-1,\ -\hspace{-0.09cm}1)$ jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $0.2$.

$\rm (A)$ Die Varianzen bzw. die Streuungen können aus $f_{X}(x)$ und $f_{Y}(y)$ berechnet werden:

$$\sigma_X^2 = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1^2 + 0.3 \cdot 0.5^2 \big] = 0.55\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_X = 0.7416,$$

$$\sigma_Y^2 = \big [0.2 \cdot (-1)^2 + 0.6 \cdot 0^2 +0.2 \cdot (+1)^2 \big] = 0.4\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_Y = 0.6325.$$

$\rm (B)$ Für die Kovarianz ergibt sich der folgende Erwartungswert:

$$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1 \cdot 1 + 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0 \big] = 0.4.$$

$\rm (C)$ Damit erhält man für den Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}=\frac{0.4 } {0.7416 \cdot 0.6325 }\approx 0.8528. $$

Regressionsgerade

Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade $K$

Ziel der linearen Regression ist es, einen einfachen (linearen) Zusammenhang zwischen zwei Zufallsgrößen $X$ und $Y$ zu anzugeben, deren $\text{2D-WDF}$ $f_{XY}(x, y)$ durch Punkte $(x_1, y_1 )$ ... $(x_N, y_N )$ in der $(x,\ y)$–Ebene vorgegeben ist. Die Skizze zeigt das Prinzip am Beispiel mittelwertfreier Größen:

Gesucht ist die Gleichung der Geraden $K$ ⇒ $y=c_{\rm opt} \cdot x$ mit der Eigenschaft, dass der mittlere quadratische (Euklidische) Abstand $\rm (MQA)$ aller Punkte von dieser Geraden minimal ist. Man bezeichnet diese Gerade auch als Korrelationsgerade. Diese kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden.

Bei einer großen Menge $N$ empirischer Daten ist der mathematische Aufwand beträchtlich, den bestmöglichen Parameter $C = c_{\rm opt}$ zu ermitteln. Der Aufwand wird deutlich reduziert, wenn man den Abstand nur in $x$– oder in $y$–Richtung definiert.

Im Sonderfall Gaußscher 2D-Zufallsgrößen wie in der Skizze verwendet ist die Korrelationsgerade $K$ identisch mit der Ellipsenhauptachse bei Darstellung der 2D-WDF in Form von Höhenlinien.
Stimmt das?

$\text{(a)}\hspace{0.5cm} \text{Regressionsgerade }R_{Y \to X}$ (rote Gerade in der App)

Hier wird der $y$–Wert auf den $x$–Wert zurückgeführt, was in etwa einer der möglichen Bedeutungen „Zurückfallen” des Wortes „Regression” entspricht.

Geradengleichung, Winkel $\theta_{Y \to X}$ der Geraden $R_{Y \to X}$ zur $x$–Achse:

$$y=C_{Y \to X} \cdot x \ \ \ \text{mit} \ \ \ C_{Y \to X}=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}= \frac{\mu_{XY}}{\sigma_X^2},\hspace{0.6cm} \theta_{Y \to X}={\rm arctan}\ (C_{Y \to X}).$$

Kriterium: Der mittlere Abstand aller Punkte $(x_n, y_n )$ von der Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$ in $y$–Richtung ist minimal:

$${\rm MQA}_Y = {\rm E} \big [ y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^2 = \frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{n=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

Die zweite Gleichung gilt nur, wenn alle Punkte $(x_n, y_n )$ der 2D–WDF gleichwahrscheinlich sind.

$\text{(b)}\hspace{0.5cm} \text{Regressionsgerade }R_{X \to Y}$ (blaue Gerade in der App)

Die Regression in Gegenrichtung $($also von $X$ auf $Y)$ bedeutet dagegen, dass der $x$–Wert auf den $y$–Wert zurückgeführt wird. Für ${\rm MQA}_X$ ergibt sich der minimale Wert.

Geradengleichung, Winkel $\theta_{X \to Y}$ der Geraden $R_{X \to Y}$ zur $x$–Achse:

$$y=C_{X \to Y} \cdot x \ \ \text{mit} \ \ C_{X \to Y}=\frac{\sigma_X}{\sigma_Y}\cdot\rho_{XY}= \frac{\mu_{XY}}{\sigma_Y^2},\hspace{0.6cm} \theta_{X \to Y}={\rm arctan}\ (C_{X \to Y}).$$

Kriterium: Der mittlere Abstand aller Punkte $(x_n, y_n )$ von der Regressionsgeraden $R_{X \to Y}$ in $x$–Richtung ist minimal:

$${\rm MQA}_X = {\rm E} \big [ x_n - y_n/C_{x \to y}\big ]^2 = \frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{n=\rm 1}^{N}\; \;\big [x_n - y_n/C_{x \to y}\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

Die beiden Regressionsgeraden

$\text{Beispiel 2:}$ Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im $\text{Beispiel 1}$ und es werden teilweise auch die dort gefundenen Ergebnisse verwendet.

In der oberen Grafik ist die Regressionsgerade $R_{x \to y}$ als blaue Kurve eingezeichnet:

Hierfür ergibt sich $C_{X \to Y}=\mu_{XY}/{\sigma_Y^2} = 1$ und dementsprechend $ \theta_{X \to Y}={\rm arctan}\ (1) = 45^\circ.$
Für den mittleren Abstand aller vier Punkte $(x_n, y_n )$ von der Regressionsgeraden $R_{X \to Y}$ in $x$–Richtung erhält man unter Ausnutzung der Symmetrie (beachten Sie die eingezeichneten blauen Horizontalen):

$${\rm MQA}_X = {\rm E} \big [ x_n - y_n/C_{x \to y}\big ]^2 = 2 \cdot \big [ 0.2 \cdot \left [1 - 1/1\right ]^{\rm 2} +0.3 \cdot \left [0.5 - 0/1\right ]^{\rm 2}\big ]=0.15.$$

Jede Gerade mit einem anderen Winkel als $45^\circ$ führt hier zu einem größeren ${\rm MQA}_X$.

Betrachten wir nun die rote Regressionsgerade $R_{Y \to X}$ in der unteren Grafik.

Hierfür ergibt sich $C_{Y \to X}=\mu_{XY}/{\sigma_X^2} = 0.4/0.55\approx0.727$ und $ \theta_{Y \to X}={\rm arctan}\ (0.727) \approx 36^\circ.$
Hier ist nun der mittlere Abstand der vier Punkte $(x_n, y_n )$ von der Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$ in $y$–Richtung minimal (beachten Sie die eingezeichneten roten Vertikalen):

$${\rm MQA}_Y = {\rm E} \big [ y_n - C_{y \to x} \cdot x_n\big ]^2 = 2 \cdot \big [ 0.2 \cdot \left [1 - 0.727 \cdot 1\right ]^{\rm 2} +0.3 \cdot \left [0 - 0.727 \cdot 0.5 \right ]^{\rm 2}\big ]\approx 0.109.$$

Die im Text erwähnte „Korrelationsgerade” mit der Eigenschaft, dass der mittlere quadratische Euklidische Abstand $\rm (MQA)$ aller Punkte von dieser Geraden minimal ist, wird sicher zwischen den beiden hier berechneten Regressionsgeraden liegen.

Testbereich

Bitte überprüfen

Bild 1

Hier habe ich als Test neben der roten und der blauen Geraden noch die grüne Gerade $H$ mit Winkel $\arctan(\rho) = \arctan(0.853)\approx 40^\circ$ eingezeichnet.
Sollte das die Korrelationsgerade $K$ sein, dann müsste der mittlere quadratische (Euklidische) Abstand $\rm (MQA)$ aller Punkte von dieser Geraden minimal sein.
Müsste dann für diese Gerade ${\rm MQA}={\rm MQA}_X + {\rm MQA}_Y$ minimal sein?
Bitte für mehrere Parametersätze überprüfen. Ich hoffe, dass das nicht allgemein stimmt.

Bitte recherchieren. Das kann man mit dem Programm nicht überprüfen

Bild 2: Gaußsche 2D

Könnte das wenigstens bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen gelten
Durch die Tangenten sind die Regressionsgeraden bestimmt.
Im anderen LNTwww und im Carolin-Programm bezeichnen wir die schwarze Gerade als Ellipsenhauptache und die rote Gerade als Korrelationsgerade.
Wenn das stimmt, müsste ich das ändern. Die Änderungen im Programm selbst wären minimal.

Der Sonderfall Gaußscher 2D–Zufallsgrößen

Fehlt noch.

Versuchsdurchführung

Wählen Sie zunächst die Nummer 1 ... 6 der zu bearbeitenden Aufgabe.
Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”: Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

In den folgenden Aufgabenbeschreibungen werden folgende Kurzbezeichnungen verwendet:

Rot: Regressionsgerade $R_{Y \to X}$ (im Applet rot gezeichnet),
Blau: Regressionsgerade $R_{X \to Y}$ (im Applet blau gezeichnet).

(1) Mit welcher Parametereinstellung sind die beiden Regressionsgerade $R_{Y \to X}$ und $R_{X \to Y}$ deckungsgleich?

Es ist offensichtlich, dass gleiche Regressionsgerade nur möglich sind, wenn diese unter dem Winkel $45^\circ$ verlaufen ⇒ „Winkelhalbierende”.
Da die fest vorgegebenen Punkte $3$ und $4$ auf der Winkelhalbierenden liegen, muss dies auch für die Punkte $1$ und $2$ gelten ⇒ $y_1 = x_1$.
Dies gilt für alle Parametereinstellungen $y_1 = x_1$ und auch für alle $p_1$ im erlaubten Bereich von $0$ bis $0.5$.

(2) Nun gelte $x_1 = 0.5,\ y_1 = 0,\ p_1 = 0.3$ Interpretieren Sie die Ergebnisse. Aktivieren Sie hierzu die Hilfsgerade.

Diese Einstellung stimmt mit den Voraussetzungen zu $\text{Beispiel 1}$ und $\text{Beispiel 2}$ überein. Insbesondere gilt $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ.$ und $ \theta_{Y \to X}\approx 36^\circ$.
Durch Variation des Winkels $ \theta_{\rm HG}$ erkennt man, dass für $ \theta_{\rm HG}= 45^\circ$ die Kenngröße ${\rm MQA}_X =0.15$ tatsächlich den kleinsten Wert annimmt.
Ebenso ergibt sich der kleinstmögliche Abstand ${\rm MQA}_Y =0.109$ in $y$–Richtung für $ \theta_{\rm HG}= 36^\circ$, also entsprechend der Geraden $R_{y \to x}$.

(3) Es gelten zunächst weiter die Einstellungen von (2). Wie ändern sich die Ergebnisse nach Variation von $p_1$ im erlaubten Bereich $(0\le p_1 \le 0.5)$?

Die blaue Regressionsgerade $ R_{X \to Y}$ verläuft weiter unter dem Winkel $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ$ ⇒ es gilt hier $\mu_{XY} =\sigma_Y^2$, und zwar unabhängig von $p_1 < 0.5$.
Im Grenzfall $p_1 = 0.5$ ist wegen $\sigma_Y =0$ die blaue Regressionsgerade undefiniert. Es handelt sich nurmehr um eine 1D–Zufallsgröße $X$.
Mit $p_1=0$ sind nur die äußeren Punkte $3$ und $4$ wirksam ⇒ $ \theta_{Y \to X}= \theta_{X \to Y}= 45^\circ$, mit $p_1=0.5$ nur die inneren Punkte ⇒ $ \theta_{Y \to X}= 0^\circ$.
Dazwischen wird $ R_{Y \to X}$ kontinuierlich flacher. Sind alle Punkte gleichwahrscheinlich $(p_1=0.25)$, dann ist $\theta_{Y \to X}\approx 38.7^\circ$.

(4) Nun gelte $x_1 = 0,\ y_1 = 0.5,\ p_1 = 0.3$. Variieren Sie $0\le p_1 < 0.5$ und interpretieren Sie die Ergebnisse. $(p_1 = 0.5$ sollte man ausschließen$)$.

Wegen $\sigma_X \le \sigma_Y$ liegt weiterhin die blaue Gerade nie unterhalb der roten, die für alle $p_1 \ne 0.5$ die Winkelhalbierende ist ⇒ $ \theta_{Y \to X}\approx 45^\circ$.
Der Winkel der blauen Regressionsgerade wächst von $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ \ (p_1 = 0)$ bis $ \theta_{X \to Y} \to 90^\circ \ (p_1 \to 0.5)$ kontinuierlich an.

(5) Beginnen Sie mit $x_1 = 0.8,\ y_1 = -0.8,\ p_1 = 0.25$ und vergrößern Sie $y_1$ bis zum Endwert $y_1 = +0.8$. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

Für $y_1 =-0.8$ ist $ \theta_{X \to Y}= 77.6^\circ$ und $ \theta_{Y \to X}= 12.4^\circ$. Mit steigendem $y_1$ verläuft $ R_{X \to Y}$ (blau) flacher und $R_{Y \to X}$ (rot) steiler.
Im Endpunkt $(y_1 = +0.8)$ verlaufen die beiden Regressionsgeraden deckungsgleich unter dem Winkel $ \theta_{X \to Y}= \theta_{Y \to X}= 45^\circ$.

(6) Abschließend gelte $x_1 = +1,\ y_1 = -1$. Variieren Sie $p_1$ im gesamten zulässigen Bereich $0\le p_1 \le 0.5$. Wann sind $X$ und $Y$ unkorreliert?

Für $p_1 = 0$ gilt $ \theta_{X \to Y}=\theta_{Y \to X}= 45^\circ.$ Dann dreht die blaue Gerade entgegen dem Uhrzeigersinn, die rote Gerade im Uhrzeigersinn.
Für $p_1 = 0.25$ sind die Winkel $ \theta_{X \to Y}=90^\circ, \ \theta_{Y \to X}= 0^\circ.$ Diese Momentaufnahme beschreibt unkorrelierte Zufallsgrößen ⇒ $\mu_{XY}=0$.
Anschließend drehen beide Geraden weiter in gleicher Richtung. Für $p_1 = 0.5$ gilt schließlich: $ \theta_{X \to Y}=135^\circ= -45^\circ, \ \theta_{Y \to X}= -45^\circ.$

Zur Handhabung des Applets

(A) Vorauswahl für blauen Parametersatz

(B) Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

(C) Vorauswahl für roten Parametersatz

(D) Parametereingabe $\lambda$ per Slider

(E) Graphische Darstellung der Verteilungen

(F) Momentenausgabe für blauen Parametersatz

(G) Momentenausgabe für roten Parametersatz

(H) Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

( I ) Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

(J) Bereich für die Versuchsdurchführung

Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:

Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2005 von Bettina Hirner im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
2020 wurde das Programm von Veronika Hofmann (Ingenieurspraxis Mathematik, Betreuer: Benedikt Leible und Tasnád Kernetzky ) unter „HTML5” neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Open Applet in a new tab