Exercise 3.2Z: Bessel Spectrum

Verlauf der Besselfunktionen

Wir betrachten das komplexe Signal

$$x(t) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t) }\hspace{0.05cm}.$$

Beispielsweise kann man das äquivalente Tiefpass–Signal am Ausgang eines Winkelmodulators (PM, FM) in dieser Form darstellen, wenn man geeignete Normierungen vornimmt.

Die Fourierreihendarstellung lautet mit $T_0 = 2π/ω_0$:

$$x(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}D_n \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.05cm},$$

$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}x(t) \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Diese komplexen Fourierkoeffizienten können mit Hilfe der Besselfunktionen erster Art und $n$–ter Ordnung ausgedrückt werden:

$${\rm J}_n (\eta) = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$

Diese sind in der Grafik im Bereich $0 ≤ η ≤ 5$ dargestellt. Für negative Werte von $n$ erhält man:

$${\rm J}_{-n} (\eta) = (-1)^n \cdot {\rm J}_{n} (\eta)\hspace{0.05cm}.$$

Die Reihendarstellung der Besselfunktionen lautet:

$${\rm J}_n (\eta) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \cdot (\eta/2)^{n \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.02cm}\cdot \hspace{0.05cm}k}}{k! \cdot (n+k)!} \hspace{0.05cm}.$$

Sind die Funktionswerte für $n = 0$ und $n = 1$ bekannt, so können daraus die Besselfunktionen für $n ≥ 2$ iterativ ermittelt werden:

$${\rm J}_n (\eta) = \frac{2 \cdot (n-1)}{\eta} \cdot {\rm J}_{n-1} (\eta) - {\rm J}_{n-2} (\eta) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Phasenmodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Äquivalentes Tiefpass-Signal bei Phasenmodulation.
Die Werte der Besselfunktionen findet man in Formelsammlungen in tabellarischer Form.
Sie können zur Lösung dieser Aufgabe auch das interaktive Applet Besselfunktion erster Art benutzen.

Fragebogen

	$x(t)$ ist für alle Zeiten $t$ imaginär.
	$x(t)$ ist periodisch.
	Die Spektralfunktion $X(f)$ erhält man über das Fourierintegral.

	Alle $D_n$ sind gleich ${\rm J}_η(0)$.
	Es gilt $D_n = {\rm J}_n(η)$.
	Es gilt $D_n = -{\rm J}_η(n)$.

	Alle $D_n$ sind rein reell.
	Alle $D_n$ sind rein imaginär.

$D_2 \ = \ $

$D_3 \ = \ $

$D_{-2} \ = \ $

$D_{-3} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1) Richtig ist nur der zweite Lösungsvorschlag:

$x(t)$ ist ein komplexes Signal, das nur in Ausnahmefällen reell wird, zum Beispiel zur Zeit $t = 0$.
Ein rein imaginärer Wert (zu gewissen Zeiten) kann sich nur dann ergeben, wenn $η ≥ π/2$ ist ⇒ Antwort 1 ist falsch.
Mit $T_0 = 2π/ω_0$ gilt beispielsweise:

$$ x(t + k \cdot T_0) = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} (t \hspace{0.05cm}+ \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}T_0)) } = {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} + \hspace{0.05cm} k \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \pi) } ={\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm} ) } = x(t)\hspace{0.05cm}.$$

Dieses Signal ist periodisch. Zur Berechnung der Spektralfunktion muss die Fourierreihe und nicht das Fourierintegral herangezogen werden.

(2) Die Fourierkoeffizienten lauten:

$$ D_n = \frac{1}{T_0}\cdot \int_{- T_0/2}^{+T_0/2}{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin (\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t) }\cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm 0} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} t }\hspace{0.1cm}{\rm d}t \hspace{0.05cm}.$$

Durch Zusammenfassen der beiden Terme und nach der Substitution $α = ω_0 · t$ erhält man:

$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {{\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(\eta \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\sin(\alpha) -\hspace{0.05cm} n \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\alpha)}}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm} = {\rm J}_n (\eta) .$$

Richtig ist also der zweite Lösungsvorschlag.

(3) Mit dem Satz von Euler können die Fourierkoeffizienten wie folgt dargestellt werden:

$$D_n = \frac{1}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha + \frac{\rm j}{2\pi}\cdot \int_{-\pi}^{+\pi} {\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$

Der Integrand des ersten Integrals ist eine gerade Funktion von α:

$$I_1 (-\alpha) = {\cos( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\cos( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}= {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = I_1 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Dagegen ist der zweite Integrand eine ungerade Funktion:

$$I_2 (-\alpha) = {\sin( \eta \cdot \sin(-\alpha) + n \cdot \alpha)} = {\sin( -\eta \cdot \sin(\alpha) + n \cdot \alpha)}= -{\sin( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)} = -I_2 (\alpha) \hspace{0.05cm}.$$

Somit verschwindet das zweite Integral und man erhält unter Berücksichtigung der Symmetrie:

$$D_n = \frac{1}{\pi}\cdot \int_{0}^{\pi} {\cos( \eta \cdot \sin(\alpha) - n \cdot \alpha)}\hspace{0.1cm}{\rm d}\alpha \hspace{0.05cm}.$$

Richtig ist somit der Lösungsvorschlag 1.

(4) Entsprechend der iterativen Berechnungsformel gilt für $η = 2$:

$$ D_2 = D_1 - D_0 = 0.577 - 0.224 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$

$$D_3 = 2 \cdot D_2 - D_1 = 2 \cdot 0.353 - 0.577 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.129} \hspace{0.05cm}.$$

(5) Aufgrund der angegebenen Symmetriebeziehung gilt weiter:

$$ D_{–2} = D_2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.353} \hspace{0.05cm},$$

$$D_{–3} = – D_3 \hspace{0.15cm}\underline {= -0.129} \hspace{0.05cm}.$$