Exercise 1.5: Reconstruction of the Jakes Spectrum

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Betrachtetes Jakes–Spektrum

Bei einem Mobilfunksystem macht sich der  Dopplereffekt  auch im Leistungsdichtespektrum der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$  bemerkbar.

Es ergibt sich das so genannte  Jakes–Spektrum, das für die maximale Dopplerfrequenz  $f_{\rm D, \ max} = 100 \ \rm Hz$  in der Grafik dargestellt ist. ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  hat nur Anteile innerhalb des Bereichs  $± f_{\rm D, \ max}$, wobei gilt:

$${\it \Phi}_z(f_{\rm D}) = \frac{2 \cdot \sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot \sqrt { 1 - (f_{\rm D}/f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max})^2 } } \hspace{0.05cm}.$$

Was im Frequenzbereich durch das Leistungsdichtespektrum (LDS) ausgedrückt wird, beschreibt man im Zeitbereich durch die Autokorrelationsfunktion (AKF). Diese ergibt sich aus  ${\it \Phi}_z(f_{\rm D})$  durch die  Fourierrücktransformation.

Mit der Besselfunktion erster Art und nullter Ordnung  $({\rm J}_0)$  erhält man:

$$\varphi_z ({\rm \Delta}t) = 2 \sigma^2 \cdot {\rm J_0}(2\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max} \cdot {\rm \Delta}t)\hspace{0.05cm}.$$

Um den Dopplereffekt und damit eine Relativbewegung zwischen Sender und Empfänger – bei einer Systemsimulation zu berücksichtigen, werden im  Rayleigh–Kanalmodell  zwei digitale Filter eingefügt, jeweils mit dem Frequenzgang  $H_{\rm DF}(f_{\rm D})$.

Die Dimensionierung dieser Filter ist Inhalt dieser Aufgabe.

• Wir beschränken uns hier auf den Zweig zur Generierung des Realteils  $x(t)$. Für den Imaginärteil  $y(t)$  ergeben sich genau gleiche Verhältnisse.
• Am Eingang des im  Rayleigh–Kanalmodell  linken digitalen Filters liegt weißes Gaußsches Rauschen  $n(t)$  mit der Varianz  $\sigma^2 = 0.5$  an.
• Die Realteilkomponente ergibt sich dann gemäß der Faltung zu

$$x(t) = n(t) \star h_{\rm DF}(t) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Themengebiet  Statistische Bindungen innerhalb des Rayleigh–Prozesses.
• Das digitale Filter wird im Kapitel  Digitale Filter  des Buches „Stochastische Signaltheorie” ausführlich behandelt.

Fragebogen

1

Welchen Wert hat das Jakes–Spektrum des Realteils bei der Dopplerfrequenz  $f_{\rm D} = 0$?

${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0)\ = \ $ $\ \cdot 10^{\rm –3} \ 1/{\rm Hz}$

2

Welche Dimensionierung ist richtig, wobei  $K$  eine geeignet gewählte Konstante ist?

	Es gilt  $H_{\rm DF}(f_{\rm D}) = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$.
	Es gilt  $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2 = K \cdot {\it \Phi}_x(f_{\rm D})$

3

Aus welcher Bedingung lässt sich die Konstante  $K$  bestimmen?

	$K$  kann beliebig gewählt werden.
	Das Integral über  $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|$  muss  $1$  ergeben.
	Das Integral über  $|H_{\rm DF}(f_{\rm D})|^2$  muss  $1$  ergeben.

4

Ist  $H_{\rm DF}(f)$  durch die beiden Bedingungen gemäß (2) und (3) eindeutig festgelegt?

	Ja.
	Nein.

Musterlösung

Solution

(1)  Das Jakes–Spektrum des Realteils ist halb so groß wie das resultierende Spektrum ${\it \Phi}_z(f)$:

$${\it \Phi}_x(f_{\rm D} = 0) = {\it \Phi}_y(f_{\rm D} = 0) = \frac{{\it \Phi}_z(f_{\rm D} = 0)}{2}= \frac{\sigma^2}{\pi \cdot f_{\rm D, \hspace{0.05cm} max}} = \frac{0.5}{\pi \cdot 100\,\,{\rm Hz}} \hspace{0.15cm} \underline{ = 1.59 \cdot 10^{-3}\,\,{\rm Hz^{-1}}} \hspace{0.05cm}.$$

(2)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

• Das Eingangssignal $n(t)$ besitzt ein weißes (konstantes) LDS ${\it \Phi}_n(f_{\rm D})$.
• Für das LDS am Ausgang gilt dann:

$${\it \Phi}_x(f_{\rm D}) = {\it \Phi}_n(f_{\rm D}) \cdot | H_{\rm DF}(f_{\rm D}|^2 \hspace{0.05cm}.$$

(3)  Richtig ist der Lösungsvorschlag 3.

• Nur wenn diese Bedingung erfüllt ist, hat das Signal $x(t)$ die gleiche Varianz $\sigma^2$ wie das Rauschsignal $n(t)$.

(4)  Richtig ist NEIN:

• Die beiden Bedingungen nach den Teilaufgaben (2) und (3) beziehen sich nur auf die Betragsfunktion.
• Für die Phase des digitalen Filters gibt es keine Vorschrift.
• Diese ist frei wählbar. Meist wählt man diese so, dass sich ein minimalphasiges Netzwerk ergibt.
• In diesem Fall hat dann die Impulsantwort $h_{\rm DF}(t)$ die geringst mögliche Ausdehnung.

Die Grafik zeigt das Ergebnis der Approximation. Die roten Kurven wurden simulativ über $100\hspace{0.05cm}000$ Abtastwerte ermittelt. Man erkennt:

Approximation des Jakes–Spektrums und der AKF

• Das Jakes–Leistungsdichtespektrum (linke Grafik) lässt sich aufgrund des senkrechten Abfalls bei $± f_{\rm D, \ max}$ nur sehr ungenau nachbilden.
• Für den Zeitbereich bedeutet dies, dass die AKF sehr viel schneller abfällt, als es die Theorie besagt.
• Für kleine $\Delta t$–Werte ist die Approximation aber sehr gut (rechte Grafik).