Exercise 2.5: Scatter Function

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Verzögerungs–Doppler–Funktion

Für den Mobilfunkkanal als zeitvariantes System gibt es insgesamt vier Systemfunktionen, die über die Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Mit der in unserem Lerntutorial formalisierten Nomenklatur sind diese:

• die zeitvariante Impulsantwort  $h(\tau, \hspace{0.05cm}t)$, die wir hier auch mit  $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$  bezeichnen,
• die Verzögerungs–Doppler–Funktion  $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$,
• die Frequenz–Doppler–Funktion  $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$,
• die zeitvariante Übertragungsfunktion  $\eta_{\rm FZ}(f,\hspace{0.05cm}t)$  oder  $H(f, \hspace{0.05cm}t)$.

Die Indizes stehen für die Verzögerung  $\tau$, die Zeit  $t$, die Frequenz  $f$  sowie die Dopplerfrequenz  $f_{\rm D}$.

Gegeben ist die Verzögerungs–Doppler–Funktion  $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$  entsprechend der oberen Grafik:

$$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})-$$

$$\hspace{1.75cm} \ - \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})- \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} + 50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$

In der Literatur wird  $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$  oft auch Scatter–Funktion genannt und mit  $s(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$  bezeichnet.

In dieser Aufgabe sollen die zugehörige Verzögerungs–Zeit–Funktion  $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm}t)$  und die Frequenz–Doppler–Funktion  $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$  ermittelt werden.

Hinweise:

• Die Aufgabe soll den Lehrstoff des Kapitels  Das GWSSUS–Kanalmodell verdeutlichen.
• Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Systemfunktionen ist in der  Grafik auf der ersten Seite  dieses Kapitels angegeben.
• Beachten Sie, dass oben die Betragsfunktion  $|\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})|$  dargestellt ist, so dass negative Gewichte der Diracfunktionen nicht zu erkennen sind.

Fragebogen

1

Bei welchen  $\tau$–Werten hat die 2D–Impulsantwort  $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm}t)$  Anteile? Bei

	$\tau = 0$,
	$\tau = 1 \ \rm µ s$,
	anderen $\tau$–Werte.

2

Berechnen Sie  $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.05cm}t)|$. Welche der folgenden Aussagen treffen zu?

	$|\eta_{\rm VZ}(\tau = 0,\hspace{0.05cm} t)|$  ist unabhängig von  $t$.
	Es gilt  $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
	Es gilt  $\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.

3

Berechnen Sie  $|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s},\hspace{0.05cm} t)|$. Welche der Aussagen treffen zu?

	$|\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s},\hspace{0.05cm} t)|$  ist unabhängig von  $t$.
	Es gilt  $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s}, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \cos {(2\pi f_0 t)}$.
	Es gilt  $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s}, \hspace{0.05cm}t) = A \cdot \sin {(2\pi f_0 t)}$.

4

Betrachten Sie nun die Frequenz–Doppler–Darstellung  $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$. Für welche  $f_{\rm D}$–Werte ist diese Funktion ungleich Null? Für

	$f_{\rm D} = 0$,
	$f_{\rm D} = ± 50 \ \rm Hz$,
	$f_{\rm D} = ± 100 \ \rm Hz$.

5

Welche der folgenden Aussagen gelten für  $\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$?

	$|\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz)|$  ist unabhängig von  $f_{\rm D}$.
	Es gilt  $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \cos {(2\pi t_0 f)}$.
	Es gilt  $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 50 \ {\rm Hz}) = A \cdot \sin {(2\pi t_0 f)}$.

6

Wie kommt man zur zeitvarianten Übertragungsfunktion  $\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm}t)$?

	Durch Fouriertransformation von  $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$  bezüglich  $\tau$.
	Durch Fouriertransformation von  $\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm}t)$  bezüglich  $\tau$.
	Durch Fourierrücktransformation von  $\eta_{\rm FD}(f,\hspace{0.05cm} f_{\rm D})$  bezüglich  $f_{\rm D}$.

Musterlösung

Solution

(1)  Die zeitvariante Impulsantwort $h(\tau, \hspace{0.05cm} t) = \eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm} t)$ ist die Fourierrücktransformierte der Verzögerungs–Doppler–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau,\hspace{0.05cm} f_{\rm D}) = s(\tau, \hspace{0.05cm} f_{\rm D})$:

$$\eta_{\rm VZ}(\tau, \hspace{0.05cm} t) \hspace{0.2cm} \stackrel{t, \hspace{0.02cm}f_{\rm D}}{\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet} \hspace{0.2cm} \eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})\hspace{0.05cm}.$$

• Dementsprechend ist $\eta_{\rm VZ}(\tau,\hspace{0.05cm} t)$ für alle Werte von $\tau$ identisch $0$, für die auch in der Scatter–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D})$ keine Anteile zu erkennen sind.
• Richtig sind also die Lösungsvorschläge 1 und 2: Nur für $\tau = 0$ und $\tau = 1 \ \rm \mu s$ besitzt die zeitvariante Impulsantwort endliche Werte.

(2)  Für die Verzögerung $\tau = 0$ besteht die Scatter–Funktion ($\eta_{\rm VD}$) aus einem einzigen Dirac bei $f_{\rm D} = 100 \ \rm Hz$.

• Für die gesuchte Zeitfunktion gilt gemäß dem zweiten Fourierintegral:

$$\eta_{\rm VZ}(\tau = 0, t) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz}) \cdot {\rm e}^{{\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm} 2 \pi f_{\rm D} t}\hspace{0.15cm}{\rm d}f_{\rm D} =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot {\rm e}^{ {\rm j}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2 \pi t \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}100\,{\rm Hz}} .$$

• Richtig ist demzufolge der Lösungsvorschlag 1.

(3)  Bei der Verzögerungszeit $\tau = 1 \ \rm µ s$ besteht die Verzögerungs–Doppler–Funktion dagegen aus zwei Diracfunktionen bei $±50 \ \rm Hz$, jeweils mit dem Gewicht $-0.5$.

• Die Zeitfunktion ergibt sich damit zu

$$\eta_{\rm VZ}(\tau = 1\,{\rm \mu s}, t) = - \cos( 2 \pi t \cdot 50\,{\rm Hz})\hspace{0.05cm}.$$

• Diese Funktion lässt sich mit $A = -1$ und $f_0 = 50 \ \rm Hz$ gemäß Lösungsvorschlag 2 darstellen.

(4)  Die drei Diracfunktionen $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ liegen bei den Dopplerfrequenzen $+100 \ \rm Hz$, $+50 \ \rm Hz$ und $-50 \ \rm Hz$.

• Für alle anderen Dopplerfrequenzen muss deshalb auch $\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}) \equiv 0$ sein.
• Richtig ist hier also der Lösungsvorschlag 2.

(5)  Betrachtet man die Scatter–Funktion $\eta_{\rm VD}(\tau, \hspace{0.05cm}f_{\rm D})$ in Richtung der $\tau$–Achse, so erkennt man bei den Dopplerfrequenzen $100 \ \rm Hz$ und $±50 \ \rm Hz$ nur jeweils eine Diracfunktion.

• Hier ergeben sich in Abhängigkeit von $f$ jeweils komplexe Exponentialschwingungen mit konstantem Betrag (woraus folgt, dass der Lösungsvorschlag 1 richtig ist):

$$|\eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D} = 100\,{\rm Hz})| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{\sqrt{2}} = {\rm const.}$$

$$| \eta_{\rm FD}(f, \hspace{0.05cm}f_{\rm D}= \pm 50\,{\rm Hz})| \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 0.5 = {\rm const.}$$

Zusammenhang aller Systemfunktionen

(6)  Wie aus der angegebenen Grafik zu ersehen, treffen die Lösungsalternativen 2 und 3 zu.

• Die Grafik zeigt alle Systemfunktionen.
• Die Fourierkorrespondenzen (grün eingezeichnet) verdeutlichen die Zusammenhänge zwischen diesen Systemfunktionen.

Hinweis:

Vergleichen Sie die zeitvariante Übertragungsfunktion $|\eta_{\rm FZ}(f, \hspace{0.05cm} t)|$ im Bild unten rechts mit der entsprechenden Grafik für Aufgabe 2.4:

• Die jeweils dargestellten Betragsfunktionen unterscheiden sich signifikant, obwohl $|\eta_{\rm VZ}(\tau, t)|$ in beiden Fällen gleich ist.
• In der Aufgabe 2.4 wurde für $\eta_{\rm VZ}(\tau = 1 \ {\rm µ s}, t)$ implizit ein Cosinus vorausgesetzt, hier eine Minus–Cosinusfunktion.
• Die (nicht explizit) angegebene Verzögerungs–Dopplerfunktion für die Aufgabe 2.4 lautete:

$$\eta_{\rm VD}(\tau, f_{\rm D}) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \delta (\tau) \cdot \delta (f_{\rm D} - 100\,{\rm Hz})+$$

$$\hspace{2cm}+\hspace{0.22cm}\frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} - 50\,{\rm Hz})+$$

$$\hspace{2cm}+\hspace{0.22cm} \frac{1}{2} \cdot \delta (\tau- 1\,{\rm \mu s}) \cdot \delta (f_{\rm D} + 50\,{\rm Hz}) \hspace{0.05cm}.$$

• Ein Vergleich mit der Gleichung auf der Angabenseite zeigt, dass sich nur die Vorzeichen der Diracs bei $\tau = 1 \ \rm µ s$ geändert haben.