Exercise 4.4Z: Signal-to-Noise Ratio with PCM

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Störabstand von PCM 30/32 im Vergleich zur ZSB–Amplitudenmodulation

Die Grafik zeigt den Sinken–Störabstand  $10 · \lg \ ρ_v$  für die Pulscodemodulation  $\rm (PCM)$  im Vergleich zur analogen Zweiseitenband–Amplitudenmodulation, abgekürzt mit  $\rm ZSB–AM$. 

Für letztere gilt  $ρ_v = ξ$, wobei die Leistungskenngröße

$$\xi = \frac{\alpha^2 \cdot P_{\rm S}}{N_0 \cdot f_{\rm N}} $$

folgende Systemparameter zusammenfasst:

• den frequenzunabhängigen Übertragungsfaktor  $α$  des Übertragungskanals,
• die Leistung  $P_{\rm S}$  des Sendsignals  $s(t)$, auch kurz Sendeleistung genannt,
• die Nachrichtenfrequenz  $f_{\rm N}$  (Bandbreite) des cosinusförmigen Quellensignals  $q(t)$,
• die Rauschleistungsdichte  $N_0$  des AWGN–Rauschens.

Für das PCM–System wurde auf der Seite  Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler  folgende Näherung für das Sinken–SNR angegeben, die auch Übertragungsfehler aufgrund des AWGN–Rauschens berücksichtigt:

$$ \rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \hspace{0.05cm}.$$

• Hierbei bezeichnet  $N$  die Anzahl der Bit pro Abtastwert und  $p_{\rm B}$  die Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
• Da  $ξ$  bei digitaler Modulation auch als die Signalenergie pro Bit  bezogen auf die Rauschleistungsdichte $(E_{\rm B}/N_0)$ interpretiert werden kann, gilt mit dem komplementären Gaußschen Fehlersignal  ${\rm Q}(x)$  näherungsweise:

$$ p_{\rm B}= {\rm Q} \left ( \sqrt{2 \xi }\right ) \hspace{0.05cm}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Pulscodemodulation.
• Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten  Einfluss von Übertragungsfehlern  und  Abschätzung der SNR-Degradation durch Bitfehler.
• Bei der hier betrachteten PCM handelt es sich um die  PCM 30/32, deren Systemparameter zum Beispiel in der  Aufgabe 4.1  angegeben sind.

Fragebogen

1

Wieviele Bit pro Abtastwert   ⇒   $N = N_1$  verwendet das betrachtete PCM–System?

$N_1 \ = \ $

2

Wieviele Bit pro Abtastwert   ⇒   $N = N_2$  müsste man verwenden, damit  $10 · \lg \ ρ_v > 64 \ \rm dB$  (Musikqualität) erreicht wird?

$N_2 \ = \ $

3

Welche (logarithmierte) Leistungskenngröße  $ξ_{40\ \rm dB}$  ist erforderlich, damit bei 8–Bit–PCM der Sinkenstörabstand gleich  $40\ \rm dB$  ist?

$10 · \lg \ ξ_{40\ \rm dB} \ = \ $ $\ \rm dB$

4

Um welchen Faktor könnte man bei PCM die Sendeleistung gegenüber der ZSB–AM reduzieren, um trotzdem  $10 · \lg \ ρ_v = 40\ \rm dB$  zu erreichen?

$K_\text{AM → PCM} \ = \ $

5

Welche Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  ergibt sich für  $10 · \lg \ ξ = 6\ \rm dB$  und  $N = N_1$   ⇒   Ergebnis der Teilaufgabe  (1)?

$p_{\rm B} \ = \ $ $\ \%$

6

Welches SNR würde sich bei gleichem  $ξ$  mit einer 3–Bit–PCM   ⇒   $N = 3$  ergeben?

$10 · \lg \ ρ_v \ = \ $ $\ \rm dB$

Musterlösung

Solution

(1)  Der horizontale Abschnitt der PCM–Kurve wird allein durch das Quantisierungsrauschen bestimmt. Hier gilt mit der Quantisierungsstufenzahl $M = 2^N$:

$$ \rho_{v} (\xi \rightarrow \infty) = \rho_{\rm Q} = M^2 = 2^{2N} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{v} \approx 6\,{\rm dB} \cdot N\hspace{0.05cm}.$$

Aus dem ablesbaren Störabstand $10 · \lg \ ρ_v ≈ 48 \ \rm dB$ folgt daraus $N_1\hspace{0.15cm}\underline { = 8}$ Bit pro Abtastwert und für die Quantisierungsstufenzahl $M = 256$.

(2)  Aus der obigen Näherung erhält man für $N_2\hspace{0.15cm}\underline { = 11}$ Bit pro Abtastwert   ⇒   $M = 2048$ den Störabstand $66 \ \rm dB$.

• Mit $N = 10$   ⇒   $M = 1024$ erreicht man nur ca. $60 \ \rm dB$.
• Bei der Compact Disc (CD) werden die PCM–Parameter $N = 16$   ⇒   $M = 65536$   ⇒   $10 · \lg \ ρ_v > 96 \ \rm dB$ verwendet.

(3)  Bei Zweiseitenband–Amplitudenmodulation wären hierfür $10 · \lg \ ξ = 40\ \rm dB$ erforderlich. Wie aus der Grafik auf der Angabenseite hervorgeht, ist dieser Abszissenwert für die vorgegebene PCM um $30 \ \rm dB$ geringer   ⇒   $10 · \lg \ ξ_{40\ \rm dB}\hspace{0.15cm}\underline { = 10 \ \rm dB}$.

(4)  Der logarithmische Wert $30 \ \rm dB$ entspricht einer um den Faktor $10^3\hspace{0.15cm}\underline { = 1000}$ reduzierten Leistung.

(5)  Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass der Abszissenwert $10 · \lg \ ξ= 6 \ \rm dB$ den Störabstand $20 \ \rm dB$ zur Folge hat. Aus $10 · \lg \ ρ_v = 20 \ \rm dB$ folgt $ρ_v = 100$ und damit weiter (mit $N = N_1 = 8$):

$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-2N } + 4 \cdot p_{\rm B}} \approx \frac{1}{ 1.5 \cdot 10^{-5} + 4 \cdot p_{\rm B}} = 100 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm B} = \frac{0.01 - 1.5 \cdot 10^{-5}}{ 4} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 2.5\%} \hspace{0.05cm}.$$

(6)  Bei gleichem $ξ$ ist die Bitfehlerwahrscheinlichkeit weiterhin $p_{\rm B} = 0.025$. Damit erhält man mit $N = 3$ (Bit pro Abtastwert):

$$\rho_{\upsilon}= \frac{1}{ 2^{-6 } + 4 \cdot p_{\rm B}} = \frac{1}{ 0.015625 + 0.01} \approx 39 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg} \hspace{0.15cm}\rho_{\upsilon}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

Weiter ist anzumerken:

• Bei nur drei Bit pro Abtastwert ist die Quantisierungsrauschleistung $(P_{\rm Q} = 0.015625)$ schon größer als die Fehlerrauschleistung $(P_{\rm F} = 0.01)$.
• Durch Erhöhung der Sendeleistung könnte wegen der Quantisierung der Sinkenstörabstand maximal $10 · \lg \ ρ_v =18 \ \rm dB$ betragen, wenn keine Bitfehler vorkommen $(P_{\rm F} = 0)$.