Zur Verdeutlichung digitaler Filter

Theoretischer Hintergrund

Allgemeines Blockschaltbild

Jedes Signal $x(t)$ kann an einem Rechner nur durch die Folge $〈x_ν〉$ seiner Abtastwerte dargestellt werden, wobei $x_ν$ für $x(ν · T_{\rm A})$ steht.

Blockschaltbild eines digitalen (IIR–) Filters $M$–Ordnung

Der zeitliche Abstand $T_{\rm A}$ zwischen zwei Abtastwerten ist dabei durch das Abtasttheorem nach oben begrenzt.
Wir beschränken uns hier auf kausale Signale und Systeme, das heißt, es gilt $x_ν \equiv 0$ für $ν \le 0$.

Um den Einfluss eines linearen Filters mit Frequenzgang $H(f)$ auf das zeitdiskrete Eingangssignal $〈x_ν〉$ zu erfassen, bietet es sich an, auch das Filter zeitdiskret zu beschreiben. Im Zeitbereich geschieht das mit der zeitdiskreten Impulsantwort $〈h_ν〉$.
Rechts sehen Sie das entsprechende Blockschaltbild. Für die Abtastwerte des Ausgangssignals $〈y_ν〉$ gilt somit:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$

Hierzu ist Folgendes zu bemerken:

Die erste Summe beschreibt die Abhängigkeit des aktuellen Ausgangs $y_ν$ vom aktuellen Eingang $x_ν$ und von den $M$ vorherigen Eingangswerten $x_{ν-1}$, ... , $x_{ν-M}.$
Die zweite Summe kennzeichnet die Beeinflussung von $y_ν$ durch die vorherigen Werte $y_{ν-1}$, ... , $y_{ν-M}$ am Filterausgang. Sie gibt den rekursiven Teil des Filters an.
Den ganzzahligen Parameter $M$ bezeichnet man als die Ordnung des digitalen Filters. Im Programm ist dieser Wert auf $M\le 2$ begrenzt.

$\text{Definitionen:}$

(1) Man bezeichnet die Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ als die zeitdiskrete Impulsantwort $〈h_ν〉$, wenn am Eingang die „zeitdiskrete Diracfunktion” anliegt:

$$〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$

(2) Man bezeichnet die Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ als die zeitdiskrete Sprungantwort $〈\sigma_ν〉$, wenn am Eingang die „zeitdiskrete Sprungfunktion” anliegt:

$$〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉 .$$

(3) Man bezeichnet die Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ als die zeitdiskrete Recheckantwort $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$, wenn am Eingang die „zeitdiskrete Rechteckfunktion” anliegt:

$$〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$

In Hochkommata angegeben sind hier der Beginn der Einsen $(2)$ und die Stelle der letzten Eins $(4)$.

Nichtrekursives Filter

$\text{Definition:}$ Sind alle Rückführungskoeffizienten $b_{\mu} = 0$, so spricht von einem nichtrekursiven Filter.

Ein solches nichtrekursives Filter $M$–ter Ordnung besitzt folgende Eigenschaften:

Nichtrekursives digitales Filter

Der Ausgangswert $y_ν$ hängt nur vom aktuellen und den $M$ vorherigen Eingangswerten ab:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$

Die Filterimpulsantwort erhält man daraus mit $x(t) = δ(t)$:

$$h(t) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )} .$$

Das entsprechende Eingangssignal in zeitdiskreter Schreibweise lautet: $x_ν ≡0$ mit Ausnahme von $x_0 =1$.
Durch Anwendung des Verschiebungssatzes folgt daraus für den Filterfrequenzgang:

$$H(f) = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2{\rm{\pi }}\hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}f \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} \mu \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} T_{\rm A} } } .$$

$\text{Beispiel 1:}$ Ein Zweiwegekanal, bei dem

das Signal auf dem Hauptpfad gegenüber dem Eingangssignal ungedämpft, aber um $2\ \rm µ s$ verzögert ankommt, und
in $4\ \rm µ s$ Abstand – also absolut zur Zeit $t = 6\ \rm µ s$ – ein Echo mit halber Amplitude nachfolgt,

kann durch ein nichtrekursives Filter entsprechend obiger Skizze nachgebildet werden, wobei folgende Parameterwerte einzustellen sind:

$$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$

Rekursives Filter

$\text{Definition:}$ Sind alle Vorwärtskoeffizienten identisch $a_\nu = 0$ mit Ausnahme von $a_0$, so liegt ein (rein) rekursives Filter vor.

Rekursives digitales Filter erster Ordnung

Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall $M = 1$ (Blockschaltbild entsprechend der Grafik). Dieses Filter weist folgende Eigenschaften auf:

Der Ausgangswert $y_ν$ hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab:

$$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot x_{\nu - \mu } .}$$

Dies zeigt die folgende Rechung:

$$y_\nu = a_0 \cdot x_\nu + b_1 \cdot y_{\nu - 1} = a_0 \cdot x_\nu + a_0 \cdot b_1 \cdot x_{\nu - 1} + {b_1} ^2 \cdot y_{\nu - 2}. $$

$\text{Definition:}$

Die zeitdiskrete Impulsantwort $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$ ist definitionsgemäß der Ausgangsfolge, wenn am Eingang eine einzelne „Eins” bei $t =0$ anliegt.
Bei einem rekursiven Filter reicht die (zeitdiskrete) Impulsantwort schon mit $M = 1$ bis ins Unendliche:

$$h(t)= \sum\limits_{\mu = 0}^\infty {a_0 \cdot {b_1} ^\mu \cdot \delta ( {t - \mu \cdot T_{\rm A} } )}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉= 〈\hspace{0.05cm}a_0, \ a_0\cdot {b_1}, \ a_0\cdot {b_1}^2 \ \text{...} \hspace{0.05cm}〉.$$

Weiter ist anzumerken:

Aus Stabilitätsgründen muss $b_1 < 1$ gelten.
Bei $b_1 = 1$ würde sich die Impulsantwort $h(t)$ bis ins Unendliche erstrecken und bei $b_1 > 1$ würde $h(t)$ sogar bis ins Unendliche anklingen.
Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor $b_1$ kleiner als die vorherige Diraclinie:

$$h_{\mu} = h(\mu \cdot T_{\rm A}) = {b_1} \cdot h_{\mu -1}.$$

rechts

$\text{Beispiel 2:}$ Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$ eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern $a_0 = 1$ und $b_1 = 0.6$.

Der Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche.
Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinander folgender Diracs ist jeweils $b_1 = 0.6$.

Aufgaben zum Kapitel

Aufgabe 5.3: Digitales Filter 1. Ordnung

Aufgabe 5.3Z: Nichtrekursives Filter

Aufgabe 5.4: Sinusgenerator

Erwartungswerte von 2D–Zufallsgrößen und Korrelationskoeffizient

Wir betrachten eine zweidimensionale $\rm (2D)$–Zufallsgröße $(X,\ Y)$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $\rm (WDF)$ $f_{XY}(x, y)$, wobei zwischen den Einzelkomponenten $X$ und $Y$ statistische Abhängigkeiten bestehen. Ein Sonderfall ist die Korrelation.

$\text{Definition:}$ Unter Korrelation versteht man eine lineare Abhängigkeit zwischen den Einzelkomponenten $X$ und $Y$.

Korrelierte Zufallsgrößen sind damit stets auch statistisch abhängig.
Aber nicht jede statistische Abhängigkeit bedeutet gleichzeitig eine Korrelation.

Für das Folgende setzen wir voraus, dass $X$ und $Y$ mittelwertfrei seien ⇒ ${\rm E}\big [ X \big ] = {\rm E}\big [ Y \big ]=0$. Zur Beschreibung der Korrelation genügen dann folgende Erwartungswerte:

die Varianzen in $X$– bzw. in $Y$–Richtung:

$$\sigma_X^2= {\rm E}\big [ X^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}x^2 \cdot f_{X}(x) \, {\rm d}x\hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}\sigma_Y^2= {\rm E}\big [Y^2 \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}y^2 \cdot f_{Y}(y) \, {\rm d}y\hspace{0.05cm};$$

die Kovarianz zwischen den Einzelkomponenten $X$ und $Y$:

$$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = \int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{0.2cm}\int_{-\infty}^{+\infty} x\ \cdot y \cdot f_{XY}(x,y) \, {\rm d}x\, {\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$

Bei statistischer Unabhängigkeit der beiden Komponenten $X$ und $Y$ ist die Kovarianz $\mu_{XY} \equiv 0$.

Das Ergebnis $\mu_{XY} = 0$ ist auch bei statistisch abhängigen Komponenten $X$ und $Y$ möglich, nämlich dann, wenn diese unkorreliert, also linear unabhängig sind.
Die statistische Abhängigkeit ist dann nicht von erster, sondern von höherer Ordnung, zum Beispiel entsprechend der Gleichung $Y=X^2.$

Man spricht dann von vollständiger Korrelation, wenn die (deterministische) Abhängigkeit zwischen $X$ und $Y$ durch die Gleichung $Y = K · X$ ausgedrückt wird.

Dann ergibt sich für die Kovarianz:

$\mu_{XY} = σ_X · σ_Y$ bei positivem Wert von $K$,
$\mu_{XY} = -σ_X · σ_Y$ bei negativem $K$–Wert.

Deshalb verwendet man häufig als Beschreibungsgröße anstelle der Kovarianz den so genannten Korrelationskoeffizienten.

$\text{Definition:}$ Der Korrelationskoeffizient ist der Quotient aus der Kovarianz $\mu_{XY}$ und dem Produkt der Effektivwerte $σ_X$ und $σ_Y$ der beiden Komponenten:

$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}.$$

Der Korrelationskoeffizient $\rho_{XY}$ weist folgende Eigenschaften auf:

Aufgrund der Normierung gilt stets $-1 \le ρ_{XY} ≤ +1$.
Sind die beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ unkorreliert, so ist $ρ_{XY} = 0$.
Bei strenger linearer Abhängigkeit zwischen $X$ und $Y$ ist $ρ_{XY}= ±1$ ⇒ vollständige Korrelation.
Ein positiver Korrelationskoeffizient bedeutet, dass bei größerem $X$–Wert im statistischen Mittel auch $Y$ größer ist als bei kleinerem $X$.
Dagegen drückt ein negativer Korrelationskoeffizient aus, dass $Y$ mit steigendem $X$ im Mittel kleiner wird.

2D-WDF $f_{XY}(x, y)$ sowie die zugehörigen Randwahrscheinlichkeitsdichten $f_{X}(x)$ und $f_{Y}(y)$

$\text{Beispiel 1:}$ Die 2D–Zufallsgröße $(X,\ Y)$ sei diskret und kann nur vier verschiedene Werte annehmen:

$(+0.5,\ 0)$ sowie $(-0.5,\ 0)$ jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $0.3$,
$(+1,\ +\hspace{-0.09cm}1)$ sowie $(-1,\ -\hspace{-0.09cm}1)$ jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $0.2$.

$\rm (A)$ Die Varianzen bzw. die Streuungen können aus $f_{X}(x)$ und $f_{Y}(y)$ berechnet werden:

$$\sigma_X^2 = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1^2 + 0.3 \cdot 0.5^2 \big] = 0.55\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_X = 0.7416,$$

$$\sigma_Y^2 = \big [0.2 \cdot (-1)^2 + 0.6 \cdot 0^2 +0.2 \cdot (+1)^2 \big] = 0.4\hspace{0.3cm}\Rightarrow\hspace{0.3cm}\sigma_Y = 0.6325.$$

$\rm (B)$ Für die Kovarianz ergibt sich der folgende Erwartungswert:

$$\mu_{XY}= {\rm E}\big [ X \cdot Y \big ] = 2 \cdot \big [0.2 \cdot 1 \cdot 1 + 0.3 \cdot 0.5 \cdot 0 \big] = 0.4.$$

$\rm (C)$ Damit erhält man für den Korrelationskoeffizienten:

$$\rho_{XY}=\frac{\mu_{XY} } {\sigma_X \cdot \sigma_Y}=\frac{0.4 } {0.7416 \cdot 0.6325 }\approx 0.8528. $$

Eigenschaften der Regressionsgeraden

Gaußsche 2D-WDF mit Korrelationsgerade $K$

Ziel der linearen Regression ist es, einen einfachen (linearen) Zusammenhang zwischen zwei Zufallsgrößen $X$ und $Y$ anzugeben, deren $\text{2D-WDF}$ $f_{XY}(x, y)$ durch Punkte $(x_1, y_1 )$ ... $(x_N, y_N )$ in der $(x,\ y)$–Ebene vorgegeben ist. Die Skizze zeigt das Prinzip am Beispiel mittelwertfreier Größen:

Gesucht ist die Gleichung der Geraden $K$ ⇒ $y=c_{\rm opt} \cdot x$ mit der Eigenschaft, dass der mittlere quadratische (Euklidische) Abstand $\rm (MQA)$ aller Punkte von dieser Geraden minimal ist. Man bezeichnet diese Gerade auch als Korrelationsgerade. Diese kann als eine Art „statistische Symmetrieachse“ interpretiert werden.

Bei einer großen Menge $N$ empirischer Daten ist der mathematische Aufwand beträchtlich, den bestmöglichen Parameter $C = c_{\rm opt}$ zu ermitteln. Der Aufwand wird deutlich reduziert, wenn man den Abstand nur in $x$– oder in $y$–Richtung definiert.

Im Sonderfall Gaußscher 2D-Zufallsgrößen wie in der Skizze verwendet ist die Korrelationsgerade $K$ identisch mit der Ellipsenhauptachse bei Darstellung der 2D-WDF in Form von Höhenlinien (siehe Abschnitt 2.3).

$\text{(a)}\hspace{0.5cm} \text{Regressionsgerade }R_{Y \to X}$ (rote Gerade in der App)

Hier wird der $y$–Wert auf den $x$–Wert zurückgeführt, was in etwa einer der möglichen Bedeutungen „Zurückfallen” des Wortes „Regression” entspricht.

Geradengleichung, Winkel $\theta_{Y \to X}$ der Geraden $R_{Y \to X}$ zur $x$–Achse:

$$y=C_{Y \to X} \cdot x \ \ \ \text{mit} \ \ \ C_{Y \to X}=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\cdot\rho_{XY}= \frac{\mu_{XY}}{\sigma_X^2},\hspace{0.6cm} \theta_{Y \to X}={\rm arctan}\ (C_{Y \to X}).$$

Kriterium: Der mittlere Abstand aller Punkte $(x_n, y_n )$ von der Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$ in $y$–Richtung ist minimal:

$${\rm MQA}_Y = {\rm E} \big [ y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^2 = \frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{n=\rm 1}^{N}\; \;\big [y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

Die zweite Gleichung gilt nur, wenn alle Punkte $(x_n, y_n )$ der 2D–WDF gleichwahrscheinlich sind.

$\text{(b)}\hspace{0.5cm} \text{Regressionsgerade }R_{X \to Y}$ (blaue Gerade in der App)

Die Regression in Gegenrichtung $($also von $X$ auf $Y)$ bedeutet dagegen, dass der $x$–Wert auf den $y$–Wert zurückgeführt wird. Für ${\rm MQA}_X$ ergibt sich der minimale Wert.

Geradengleichung, Winkel $\theta_{X \to Y}$ der Geraden $R_{X \to Y}$ zur $x$–Achse:

$$y=C_{X \to Y} \cdot x \ \ \text{mit} \ \ C_{X \to Y}=\frac{\sigma_Y}{\sigma_X\cdot\rho_{XY} }= \frac{\sigma_Y^2} {\mu_{XY}},\hspace{0.6cm} \theta_{X \to Y}={\rm arctan}\ (C_{X \to Y}).$$

Kriterium: Der mittlere Abstand aller Punkte $(x_n, y_n )$ von der Regressionsgeraden $R_{X \to Y}$ in $x$–Richtung ist minimal:

$${\rm MQA}_X = {\rm E} \big [ x_n - y_n/C_{X \to Y}\big ]^2 = \frac{\rm 1}{N} \cdot \sum_{n=\rm 1}^{N}\; \;\big [x_n - y_n/C_{X \to Y}\big ]^{\rm 2}={\rm Minimum}.$$

Die beiden Regressionsgeraden

$\text{Beispiel 2:}$ Es gelten die gleichen Voraussetzungen wie im $\text{Beispiel 1}$ und es werden teilweise auch die dort gefundenen Ergebnisse verwendet.

In der oberen Grafik ist die Regressionsgerade $R_{X \to Y}$ als blaue Kurve eingezeichnet:

Hierfür ergibt sich $C_{X \to Y}={\sigma_Y^2}/\mu_{XY} = 1$ und dementsprechend $ \theta_{X \to Y}={\rm arctan}\ (1) = 45^\circ.$
Für den mittleren Abstand aller vier Punkte $(x_n, y_n )$ von der Regressionsgeraden $R_{X \to Y}$ in $x$–Richtung erhält man unter Ausnutzung der Symmetrie (beachten Sie die eingezeichneten blauen Horizontalen):

$${\rm MQA}_X = {\rm E} \big [ x_n - y_n/C_{x \to y}\big ]^2 = 2 \cdot \big [ 0.2 \cdot \left [1 - 1/1\right ]^{\rm 2} +0.3 \cdot \left [0.5 - 0/1\right ]^{\rm 2}\big ]=0.15.$$

Jede Gerade mit einem anderen Winkel als $45^\circ$ führt hier zu einem größeren ${\rm MQA}_X$.

Betrachten wir nun die rote Regressionsgerade $R_{Y \to X}$ in der unteren Grafik.

Hierfür ergibt sich $C_{Y \to X}=\mu_{XY}/{\sigma_X^2} = 0.4/0.55\approx0.727$ und $ \theta_{Y \to X}={\rm arctan}\ (0.727) \approx 36^\circ.$
Hier ist nun der mittlere Abstand der vier Punkte $(x_n, y_n )$ von der Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$ in $y$–Richtung minimal (beachten Sie die eingezeichneten roten Vertikalen):

$${\rm MQA}_Y = {\rm E} \big [ y_n - C_{Y \to X} \cdot x_n\big ]^2 = 2 \cdot \big [ 0.2 \cdot \left [1 - 0.727 \cdot 1\right ]^{\rm 2} +0.3 \cdot \left [0 - 0.727 \cdot 0.5 \right ]^{\rm 2}\big ]\approx 0.109.$$

Die im Text erwähnte „Korrelationsgerade” mit der Eigenschaft, dass der mittlere quadratische Euklidische Abstand $\rm (MQA)$ aller Punkte von dieser Geraden minimal ist, wird sicher zwischen den beiden hier berechneten Regressionsgeraden liegen.

Der Sonderfall Gaußscher 2D–Zufallsgrößen

Im Sonderfall einer mittelwertfreien Gaußschen 2–Zufallsgröße $(X,\ Y)$ lautet die Verbundwahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$$f_{XY}(x,y)=\frac{\rm 1}{\rm 2\it\pi \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \cdot \sqrt{\rm 1-\rho_{\it XY}^2}}\cdot\exp\Bigg[-\frac{\rm 1}{\rm 2 \cdot(1-\it\rho_{XY}^{\rm 2} {\rm)}}\cdot(\frac {\it x^{\rm 2}}{\sigma_X^{\rm 2}}+\frac {\it y^{\rm 2}}{\sigma_Y^{\rm 2}}-\rm 2\cdot\it\rho_{XY}\cdot\frac{x \cdot y}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}\rm ) \rm \Bigg].$$

Ersetzt man $x$ durch $(x - m_X)$ sowie $y$ durch $(y- m_Y)$, so ergibt sich die allgemeinere WDF einer zweidimensionalen Gaußschen Zufallsgröße mit Mittelwert.
Die beiden Randwahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f_{X}(x)$ und $f_{Y}(y)$ einer Gaußschen 2D-Zufallsgröße sind ebenfalls gaußförmig mit den Streuungen $σ_X$ bzw. $σ_Y$.
Bei unkorrelierten Komponenten $X$ und $Y$ muss in obiger Gleichung $ρ_{XY} = 0$ eingesetzt werden, und man erhält dann das Ergebnis:

$K$, $R_{Y \to X}$ und $R_{X \to Y}$ bei Gaußschen 2D–Zufallsgrößen

$$f_{XY}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{X}} \cdot\rm e^{-\it {x^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\it\sigma_{X}^{\rm 2}} {\rm )}} \cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot\sigma_{\it Y}}\cdot e^{-\it {y^{\rm 2}}\hspace{-0.08cm}/{\rm (}{\rm 2\it\sigma_{Y}^{\rm 2}} {\rm )}} = \it f_{X} \rm ( \it x \rm ) \cdot \it f_{Y} \rm ( \it y \rm ) .$$

Bei korrelierten Komponenten $X$ und $Y$ ⇒ $ρ_{XY} \ne 0$ sind die Höhenlinien der 2D-WDF jeweils ellipsenförmig. Die Korrelationsgerade $K$ ist hier identisch mit der Ellipsenhauptachse, die unter folgendem Neigungswinkel verläuft:

$$\theta_{\rm K} = {1}/{2} \cdot {\rm arctan } \ ( 2 \cdot \rho_{XY} \cdot \frac {\sigma_X \cdot \sigma_Y}{\sigma_X^2 - \sigma_Y^2}).$$

Die (rote) Regressionsgerade $R_{Y \to X}$ einer Gaußschen 2D–Zufallsgröße liegt stets unterhalb der Korrelationsgeraden. Sie kann aus dem Schnittpunkt jeder elliptischen Höhenlinie und ihrer vertikalen Tangente geometrisch konstruiert werden.
In der Skizze ist dieses Konstruktionsmerkmal in grüner Farbe angedeutet. Die (blaue) Regressionsgerade $R_{X \to Y}$ ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung und den Schnittpunkt der elliptischen Höhenlinie mit ihrer horizontalen Tangente.

Programmbeschreibung

Als einfaches Beispiel einer 2D-Zufallsgröße $(X, Y)$ betrachten wir den Fall, dass diese nur vier Werte annehmen kann:

Punkt $1$ bei $(x_1, \ y_1)$ mit Wahrscheinlichkeit $p_1$: Die Parameter $x_1, \ y_1, \ p_1$ sind im Applet per Slider einstellbar.
Punkt $2$ bei $(x_2, \ y_2)$ mit Wahrscheinlichkeit $p_2$: Die Parameter liegen durch den Punkt $1$ fest: $x_2=-x_1, \ y_2=-y_1, \ p_2=p_1$.
Punkt $3$ bei $(+1, +1)$ mit Wahrscheinlichkeit $p_3 = 0.5-p_1$: Die Lage dieses Punktes ist im Applet fest vorgegeben.
Punkt $4$ bei $(-1, -1)$ mit Wahrscheinlichkeit $p_4 = p_3$: Dieser Punkt liegt ebenso wie der Punkt $3$ auf der Winkelhalbierenden.

Für diese Konstellation werden im Applet folgende Gerade durch den Nullpunkt dargestellt:

Die Regressionsgerade $R_{X \to Y}$ unter dem Winkel $\theta_{X \to Y}$ ⇒ blaue Kurve,
die Regressionsgerade $R_{Y \to X}$ unter dem Winkel $\theta_{Y \to X}$ ⇒ rote Kurve,
eine Hilfsgerade „$\rm (HG)$” unter dem Winkel $\theta_{\rm HG}$ ⇒ grüne Kurve, optional.

Als Zahlenwerte werden die zur Berechnung von $\theta_{X \to Y}$ und $\theta_{Y \to X}$ benötigten statistischen Kenngrößen ausgegeben:

die Streuungen (Standardabweichungen) $\sigma_X$ und $\sigma_Y$ der Komponenten $X$ bzw. $Y$,
die Kovarianz $\mu_{XY}$ ⇒ Zentralmoment erster Ordnung der 2D-Zufallsgröße $(X, Y)$,
der Korrelationskoeffizient $\rho_{XY}$ zwischen den 2D-Zufallsgröße $X$ und $Y$.

Mit Hilfe der (optionalen) Hilfsgeraden sowie der gestrichelt eingezeichneten Abstände der Punkte in $x$– und $y$–Richtung zu dieser lässt sich nachvollziehen, dass

die rote Regressionsgerade $R_{X \to Y}$ die Eigenschaft hat, dass der mittlere quadrische Abstand aller Punkte in $y$–Richtung ⇒ ${\rm MQA}_Y$ von dieser minimal ist,
während für die blaue Regressionsgerade $R_{Y \to X}$ der mittlere quadrische Abstand aller Punkte in $x$–Richtung ⇒ ${\rm MQA}_X$ zum Minimum führt.

Versuchsdurchführung

Wählen Sie zunächst die Nummer 1 ... 6 der zu bearbeitenden Aufgabe.
Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst.
Lösung nach Drücken von „Musterlösung”.
Die Nummer 0 entspricht einem „Reset”: Gleiche Einstellung wie beim Programmstart.

In den folgenden Aufgabenbeschreibungen werden folgende Kurzbezeichnungen verwendet:

Rot: Regressionsgerade $R_{Y \to X}$ (im Applet rot gezeichnet),
Blau: Regressionsgerade $R_{X \to Y}$ (im Applet blau gezeichnet).

(1) Mit welcher Parametereinstellung sind die beiden Regressionsgeraden $R_{Y \to X}$ und $R_{X \to Y}$ deckungsgleich?

Es ist offensichtlich, dass gleiche Regressionsgeraden nur möglich sind, wenn diese unter dem Winkel $45^\circ$ verlaufen ⇒ „Winkelhalbierende”.
Da die fest vorgegebenen Punkte $3$ und $4$ auf der Winkelhalbierenden liegen, muss dies auch für die Punkte $1$ und $2$ gelten ⇒ $y_1 = x_1$.
Dies gilt für alle Parametereinstellungen $y_1 = x_1$ und auch für alle $p_1$ im erlaubten Bereich von $0$ bis $0.5$.

(2) Nun gelte $x_1 = 0.5,\ y_1 = 0,\ p_1 = 0.3$ Interpretieren Sie die Ergebnisse. Aktivieren Sie hierzu die Hilfsgerade.

Diese Einstellung stimmt mit den Voraussetzungen zu $\text{Beispiel 1}$ und $\text{Beispiel 2}$ überein. Insbesondere gilt $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ$ und $ \theta_{Y \to X}\approx 36^\circ$.
Durch Variation des Winkels $ \theta_{\rm HG}$ erkennt man, dass für $ \theta_{\rm HG}= 45^\circ$ die Kenngröße ${\rm MQA}_X =0.15$ tatsächlich den kleinsten Wert annimmt.
Ebenso ergibt sich der kleinstmögliche Abstand ${\rm MQA}_Y =0.109$ in $y$–Richtung für $ \theta_{\rm HG}= 36^\circ$, also entsprechend der Geraden $R_{Y \to X}$.

(3) Es gelten zunächst weiter die Einstellungen von (2). Wie ändern sich die Ergebnisse nach Variation von $p_1$ im erlaubten Bereich $(0\le p_1 \le 0.5)$?

Die blaue Regressionsgerade $ R_{X \to Y}$ verläuft weiter unter dem Winkel $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ$ ⇒ es gilt hier $\mu_{XY} =\sigma_Y^2$, und zwar unabhängig von $p_1 < 0.5$.
Im Grenzfall $p_1 = 0.5$ ist wegen $\sigma_Y =0$ die blaue Regressionsgerade undefiniert. Es handelt sich nurmehr um eine 1D–Zufallsgröße $X$.
Mit $p_1=0$ sind nur die äußeren Punkte $3$ und $4$ wirksam ⇒ $ \theta_{Y \to X}= \theta_{X \to Y}= 45^\circ$, mit $p_1=0.5$ nur die inneren Punkte ⇒ $ \theta_{Y \to X}= 0^\circ$.
Dazwischen wird $ R_{Y \to X}$ kontinuierlich flacher. Sind alle Punkte gleichwahrscheinlich $(p_1=0.25)$, dann ist $\theta_{Y \to X}\approx 38.7^\circ$.

(4) Nun gelte $x_1 = 0,\ y_1 = 0.5,\ p_1 = 0.3$. Variieren Sie $0\le p_1 < 0.5$ und interpretieren Sie die Ergebnisse. $(p_1 = 0.5$ sollte man ausschließen$)$.

Wegen $\sigma_X \le \sigma_Y$ liegt weiterhin die blaue Gerade nie unterhalb der roten, die für alle $p_1 \ne 0.5$ die Winkelhalbierende ist ⇒ $ \theta_{Y \to X}\approx 45^\circ$.
Der Winkel der blauen Regressionsgerade wächst von $ \theta_{X \to Y}= 45^\circ \ (p_1 = 0)$ bis $ \theta_{X \to Y} \to 90^\circ \ (p_1 \to 0.5)$ kontinuierlich an.

(5) Beginnen Sie mit $x_1 = 0.8,\ y_1 = -0.8,\ p_1 = 0.25$ und vergrößern Sie $y_1$ bis zum Endwert $y_1 = +0.8$. Interpretieren Sie die Ergebnisse.

Für $y_1 =-0.8$ ist $ \theta_{X \to Y}= 77.6^\circ$ und $ \theta_{Y \to X}= 12.4^\circ$. Mit steigendem $y_1$ verläuft $ R_{X \to Y}$ (blau) flacher und $R_{Y \to X}$ (rot) steiler.
Im Endpunkt $(y_1 = +0.8)$ verlaufen die beiden Regressionsgeraden deckungsgleich unter dem Winkel $ \theta_{X \to Y}= \theta_{Y \to X}= 45^\circ$.

(6) Abschließend gelte $x_1 = +1,\ y_1 = -1$. Variieren Sie $p_1$ im gesamten zulässigen Bereich $0\le p_1 \le 0.5$. Wann sind $X$ und $Y$ unkorreliert?

Für $p_1 = 0$ gilt $ \theta_{X \to Y}=\theta_{Y \to X}= 45^\circ.$ Dann dreht die blaue Gerade entgegen dem Uhrzeigersinn, die rote Gerade im Uhrzeigersinn.
Für $p_1 = 0.25$ sind die Winkel $ \theta_{X \to Y}=90^\circ, \ \theta_{Y \to X}= 0^\circ.$ Diese Momentaufnahme beschreibt unkorrelierte Zufallsgrößen ⇒ $\mu_{XY}=0$.
Anschließend drehen beide Geraden weiter in gleicher Richtung. Für $p_1 = 0.5$ gilt schließlich: $ \theta_{X \to Y}=135^\circ= -45^\circ, \ \theta_{Y \to X}= -45^\circ.$

Zur Handhabung des Applets

(A) Vorauswahl für blauen Parametersatz

(B) Parametereingabe $I$ und $p$ per Slider

(C) Vorauswahl für roten Parametersatz

(D) Parametereingabe $\lambda$ per Slider

(E) Graphische Darstellung der Verteilungen

(F) Momentenausgabe für blauen Parametersatz

(G) Momentenausgabe für roten Parametersatz

(H) Variation der grafischen Darstellung

$\hspace{1.5cm}$„$+$” (Vergrößern),

$\hspace{1.5cm}$ „$-$” (Verkleinern)

$\hspace{1.5cm}$ „$\rm o$” (Zurücksetzen)

$\hspace{1.5cm}$ „$\leftarrow$” (Verschieben nach links), usw.

( I ) Ausgabe von ${\rm Pr} (z = \mu)$ und ${\rm Pr} (z \le \mu)$

(J) Bereich für die Versuchsdurchführung

Andere Möglichkeiten zur Variation der grafischen Darstellung:

Gedrückte Shifttaste und Scrollen: Zoomen im Koordinatensystem,
Gedrückte Shifttaste und linke Maustaste: Verschieben des Koordinatensystems.

Über die Autoren

Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.

Die erste Version wurde 2005 von Bettina Hirner im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
2020 wurde das Programm von Veronika Hofmann (Ingenieurspraxis Mathematik, Betreuer: Benedikt Leible und Tasnád Kernetzky ) unter „HTML5” neu gestaltet.

Nochmalige Aufrufmöglichkeit des Applets in neuem Fenster

Open Applet in a new tab