Contents
Programmbeschreibung
The applet should clarify the properties of digital filters, whereby we confine ourselves to filters of the order $M=2$. Both non-recursive filters $\rm (FIR$, Finite Impulse Response$)$ as well as recursive filters $\rm (IIR$, Infinite Impulse Response$)$.
The input signal $x(t)$ is represented by the sequence $〈x_ν〉$ of its samples, where $x_ν$ stands for $x(ν · T_{\rm A})$. The output sequence $〈y_ν〉$is calculated, i.e. the discrete-time representation of the output signal $y(t)$.
- $T_{\rm A}$ denotes the time interval between two samples.
- We also limit ourselves to causal signals and systems, which means that $x_ν \equiv 0$ and $y_ν \equiv 0$ for $ν \le 0$.
It should also be noted that we denote the initial sequence $〈y_ν〉$ as
(1) the discrete-time impulse response $〈h_ν〉$ if the “discrete-time Dirac function” is present at the input: $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉,$
(2) the time-discrete step response $〈\sigma_ν〉$ if the “time-discrete step function” is present at the input: $〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉,$
(3) the discrete-time rectangle response $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$ if the “discrete-time rectangle function” is present at the input: $〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉;$
In quotation marks are the beginning of the ones $(2)$ and the position of the last ones $(4)$.
Theoretical background
General block diagram
Each signal $x(t)$ can only be represented on a computer by the sequence $〈x_ν〉$ of its samples, where $x_ν$ stands for $x(ν · T_{\rm A})$. right |frame| Block diagram of a digital (IIR–) filter $M$–order
- The time interval $T_{\rm A}$ between two samples is limited by the sampling theorem.
- We limit ourselves here to causal signals and systems, which means that $x_ν \equiv 0$ for $ν \le 0$.
- In order to determine the influence of a linear filter with frequency response $H(f)$ on the time-discrete input signal $〈x_ν〉$, it is advisable to describe the filter discrete-time. In the time domain, this happens with the discrete-time impulse response $〈h_ν〉$.
- On the right you can see the corresponding block diagram. The following therefore applies to the samples of the output signal $〈y_ν〉$ thus holds:
- $$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu } \cdot x_{\nu - \mu } + \sum\limits_{\mu = 1}^M {b_\mu } \cdot y_{\nu - \mu } .$$
The following should be noted here:
- The index $\nu$ refers to sequences, for example at the input $〈x_ν〉$ and output $〈y_ν〉$.
- On the other hand, we use the index $\mu$ to identify the $a$ and $b$ filter coefficients.
- The first sum describes the dependency of the current output $y_ν$ on the current input $x_ν$ and on the $M$ previous input values $x_{ν-1}$, ... , $x_{ν-M}$.
- The second sum indicates the influence of $y_ν$ by the previous values $y_{ν-1}$, ... , $y_{ν-M}$ at the filter output. It specifies the recursive part of the filter.
- The integer parameter $M$ is called the order of the digital filter. In the program, this value is limited to $M\le 2$.
$\text{Definitions:}$
(1) The output sequence $〈y_ν〉$ is called the discrete-time impulse response $〈h_ν〉$ if the “discrete-time Dirac function” is present at the input:
- $$〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$
(2) The output sequence $〈y_ν〉$ is called the time-discrete step response $〈\sigma_ν〉$ if the “time-discrete step function” is present at the input:
- $$〈x_ν〉= 〈1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1, \text{...}〉 .$$
(3) The output sequence $〈y_ν〉$ is called the discrete-time rectangle response $〈\rho_ν^{(2, 4)}〉$ if the “discrete-time rectangular function” is present at the input:
- $$〈x_ν〉= 〈0,\ 0,\ 1,\ 1,\ 1,\ 0,\ 0, \text{...}〉 .$$
- The beginning of ones $(2)$ and the position of the last ones $(4)$ are given in single quotes.
Non-recursive filter ⇒ FIR–filter
right |frame| Non-recursive digital filter $($FIR filter$)$ $M$ order $\text{Definition:}$ If all feedback coefficients $b_{\mu} = 0$ , one speaks of one non-recursive filter. In the English language literature, the term FIR filter (Finite Impulse Response) is also used for this.
The following applies to the order $M$ applies:
- The output value $y_ν$ depends only on the current and the previous $M$ input values:
- $$y_\nu = \sum\limits_{\mu = 0}^M {a_\mu \cdot x_{\mu - \nu } } .$$
- Time-discrete impulse response with $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0, \text{...}〉$:
- $$〈h_\mu〉= 〈a_0,\ a_1,\ \text{...},\ a_M〉 .$$
$\text{Example 1:}$ A two-way channel where
- the signal on the main path arrives undamped compared to the input signal but is delayed by $2\ \rm µ s$ arrives with a delay, and
- at $4\ \rm µ s$ distance – so absolutely at time $t = 6\ \rm µ s$ – follows an echo with half the amplitude,
can be simulated by a non-recursive filter according to the sketch above, whereby the following parameter values must be set:
- $$M = 3,\quad T_{\rm A} = 2\;{\rm{µ s} },\quad a_{\rm 0} = 0,\quad a_{\rm 1} = 1, \quad a_{\rm 2} = 0, \quad a_{\rm 3} = 0.5.$$
$\text{Example 2:} Consider a non-recursive filter with the filter coefficients $a_0 = 1,\hspace{0.5cm} a_1 = 2,\hspace{0.5cm} a_2 = 1.$ [[Datei:P_ID608__Sto_Z_5_3.png|right|frame|Nichtrekursives Filter]] '''(1)''' The conventional impulse response is: $h(t) = \delta (t) + 2 \cdot \delta ( {t - T_{\rm A} } ) + \delta ( {t - 2T_{\rm A} } ).$ <br> ⇒ discrete-time impulse response: $〈h_\mu〉= 〈1,\ 2,\ 1〉 .$ '''(2)''' The frequency response $H(f)$ is the Fourier transform of $h(t)$. By applying the displacement theorem: :'"`UNIQ-MathJax9-QINU`"' '''(3)''' It follows that the '''time-discrete step response''' $〈\sigma_ν〉$ tends to become $4$ for large $\nu$. '''(4)''' The discrete-time convolution of the input sequence $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ with $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ results :'"`UNIQ-MathJax10-QINU`"' '''(5)''' The discrete-time convolution of the input sequence $\left\langle \hspace{0.05cm}{x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle {\;1,\;1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0,\;0,\;\text{...} } \hspace{0.05cm} \right\rangle$ with $\left\langle \hspace{0.05cm}{h_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle = \left\langle \hspace{0.05cm}{1, \ 2,\ 1 } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ results :'"`UNIQ-MathJax11-QINU`"' <div style="clear:both;"> </div> </div> ==='"`UNIQ--h-4--QINU`"'Recursive filter ⇒ IIR filter === <div class="bluebox"> [[Datei:P_ID607__Sto_A_5_3.png|right|frame|First order recursive filter]] $\text{Definition:}$ *If at least one of the feedback coefficients is $b_{\mu} \ne 0$, then this is referred to as a '''recursive filter''' (see graphic on the right). The term '''IIR filter''' (''Infinite Impulse Response'') is also used for this, particularly in the English-language literature. This filter is dealt with in detail in the trial implementation. *If all forward coefficients are also identical $a_\mu = 0$ with the exception of $a_0$, a '''purely recursive filter''' is available (see graphic on the left). [[Datei:P_ID554__Sto_T_5_2_S3_neu.png|left|frame| Purely recursive first order filter]] <div style="clear:both;"> </div> </div> Im Folgenden beschränken wir uns auf den Sonderfall „Rein rekursives Filter erster Ordnung”. Dieses Filter weist folgende Eigenschaften auf: *Der Ausgangswert $y_ν$ hängt (indirekt) von unendlich vielen Eingangswerten ab: :'"`UNIQ-MathJax12-QINU`"' *Dies zeigt die folgende Rechung: :'"`UNIQ-MathJax13-QINU`"' *Die zeitdiskrete Impulsantwort ist definitionsgemäß gleich der Ausgangsfolge, wenn am Eingang eine einzelne „Eins” bei $t =0$ anliegt. :'"`UNIQ-MathJax14-QINU`"' <div class="bluebox"> $\text{Fazit:}$ Bei einem rekursiven Filter reicht die (zeitdiskrete) Impulsantwort schon mit $M = 1$ bis ins Unendliche: *Aus Stabilitätsgründen muss $b_1 < 1$ gelten. *Bei $b_1 = 1$ würde sich die Impulsantwort $h(t)$ bis ins Unendliche erstrecken und bei $b_1 > 1$ würde $h(t)$ sogar bis ins Unendliche anklingen. *Bei einem solchen rekursiven Filter erster Ordnung ist jede einzelne Diraclinie genau um den Faktor $b_1$ kleiner als die vorherige Diraclinie: :'"`UNIQ-MathJax15-QINU`"' <div style="clear:both;"> </div> </div> <div class="greybox"> [[Datei:Sto_T_5_2_S3_version2.png |frame| Zeitdiskrete Impulsantwort | rechts]] $\text{Beispiel 3:}$ Die nebenstehende Grafik zeigt die zeitdiskrete Impulsantwort $〈\hspace{0.05cm}h_\mu\hspace{0.05cm}〉$ eines rekursiven Filters erster Ordnung mit den Parametern $a_0 = 1$ und $b_1 = 0.6$. *Der (zeitdiskrete) Verlauf ist exponentiell abfallend und erstreckt sich bis ins Unendliche. *Das Verhältnis der Gewichte zweier aufeinanderfolgender Diracs ist jeweils $b_1 = 0.6$. <div style="clear:both;"> </div> </div> ==='"`UNIQ--h-5--QINU`"'Rekursives Filter als Sinus–Generator=== [[Datei:P_ID622__Sto_A_5_4.png|right|frame|Vorgeschlagene Filterstruktur '''ändern auf''' $T_{\rm A}$]] Die Grafik zeigt ein digitales Filter zweiter Ordnung, das zur Erzeugung einer zeitdiskreten Sinusfunktion auf einem digitalen Signalprozessor (DSP) geeignet ist, wenn die Eingangsfolge $\left\langle \hspace{0.05cm} {x_\nu } \hspace{0.05cm}\right\rangle$ eine (zeitdiskrete) Diracfunktion ist: :'"`UNIQ-MathJax16-QINU`"' Die fünf Filterkoeffizienten ergeben sich aus der [https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation $Z$-Transformation]: :'"`UNIQ-MathJax17-QINU`"' Nach Umsetzung dieser Gleichung durch ein rekursives Filter zweiter Ordnung erhält man folgende Filterkoeffizienten: :'"`UNIQ-MathJax18-QINU`"' *Auf die Filterkoeffizienten $a_0$ und $a_2$ kann verzichtet werden und $b_2=-1$ hat einen festen Wert. *Die Kreisfrequenz $\omega_0$ der Sinusschwingung wird also nur durch $a_0$ und $a_0$ festelegt. <div class="greybox"> $\text{Beispiel 3:}$ Es gelte $a_1 = 0.5$, $b_1 = \sqrt 3$, $x_0 = 1$ und $x_{\nu \hspace{0.05cm}\ne\hspace{0.05cm} 0} = 0$. '''(1)''' Dann gilt für die Ausgangswerte $y_\nu$ zu den Zeitpunkten $\nu \ge 0$:<br> :* $y_0 = 0;$ :* $y_1 = 0.5$ ⇒ die „$1$” am Eingang wirkt sich wegen $a_0= 0$ am Ausgang erst zum Zeitpunkt $\nu = 1$ aus; :* $y_2 = b_1 \cdot y_1 - y_0 = {\sqrt 3 }/{2} \approx 0.866$ ⇒ bei $\nu = 2$ wird auch der rekursive Teil des Filters wirksam; :* $y_3 = \sqrt 3 \cdot y_2 - y_1 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - {1}/{2} = 1$ ⇒ für $\nu \ge 2$ ist das Filter rein rekursiv: $y_\nu = b_1 \cdot y_{\nu - 1} - y_{\nu - 2}$; :* $y_4 = \sqrt 3 \cdot y_3 - y_2 = \sqrt 3 \cdot 1 - {\sqrt 3 }/{2} = {\sqrt 3 }/{2};$ :* $y_5 = \sqrt 3 \cdot y_4 - y_3 = \sqrt 3 \cdot {\sqrt 3 }/{2} - 1 = 0.5;$ :* $y_6 = \sqrt 3 \cdot y_5 - y_4 = \sqrt 3 \cdot {1}/{2} - {\sqrt 3 }/{2} = 0;$ :* $y_7 = \sqrt 3 \cdot y_6 - y_5 = \sqrt 3 \cdot 0 - {1}/{2} = - 0.5.$ '''(2)''' Durch Fortsetzung des rekursiven Algorithmuses erhält man für große $\nu$–Werte: $y_\nu = y_{\nu - 12} $ ⇒ $T_0/T_{\rm A}= 12.$ <div style="clear:both;"> </div> </div> =='"`UNIQ--h-6--QINU`"'Versuchsdurchführung== [[Datei:Exercises_binomial_fertig.png|right]] *Wählen Sie zunächst die Nummer '''1''' ... '''10''' der zu bearbeitenden Aufgabe. *Eine Aufgabenbeschreibung wird angezeigt. Die Parameterwerte sind angepasst. *Lösung nach Drücken von „Musterlösung”. *Die Nummer '''0''' entspricht einem „Reset”: Gleiche Einstellung wie beim Programmstart. <br clear="all"> <div class="bluebox"> '''(1)''' Die Filterkoeffizienten seien $a_0=0.25$, $a_1=0.5$, $a_2=0.25$, $b_1=b_2=0$. Um welches Filter handelt es sich? <br> Interpretieren Sie die Impulsantwort $〈h_ν〉$, die Sprungantwort $〈\sigma_ν〉$ und die Rechteckantwort $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$ jeweils in zeitdiskreter Darstellung. <div style="clear:both;"> </div> </div> :* Aufgrund der fehlenden $b$–Koeffizienten handelt es sich um ein nichtrekursives digitales Filter ⇒ '''FIR–Filter''' (''Finite Impulse Response''). :* Die Impulsantwort setzt sich aus $M+1=3$ Diraclinien gemäß den $a$–Koeffizienten zusammen: $〈h_ν〉= 〈a_0, \ a_1,\ a_2〉= 〈0.25, \ 0.5,\ 0.25,\ 0, \ 0, \ 0,\text{...}〉 $. :* Die Sprungantwort lautet: $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1,\text{...}〉 $. Der Endwert ist gleich dem Gleichsignalübertragungsfaktor $H(f=0)=a_0+a_1+a_2 = 1$. :* Die Verzerrungen bei Anstieg und Abfall erkennt man auch aus der Rechteckantwort $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉= 〈0,\ 0, 0.25, \ 0.75,\ 1,\ 1, \ 1, \ 1, \ 1, \ 0.75, \ 0.25, \ \text{...}〉$. <div class="bluebox"> '''(2)''' Wie unterscheiden sich die Ergebnisse mit $a_2=-0.25$? <div style="clear:both;"> </div> </div> :* Unter Berücksichtigung von $H(f=0)= 0.5$ ergeben sich vergleichbare Folgen ⇒ Sprungantwort: $〈\sigma_ν〉= 〈0.25, \ 0.75,\ 0.5,\ 0.5, \ 0.5, \ 0.5,\text{...}〉 $. <div class="bluebox"> '''(3)''' Nun seien die Filterkoeffizienten $a_0=1$, $b_1=0.9$ sowie $a_1=a_2= b_2=0$. Um welches Filter handelt es sich? Interpretieren Sie die Impulsantwort $〈h_ν〉$. <div style="clear:both;"> </div> </div> :* Es handelt sich um ein rekursives digitales Filter ⇒ '''IIR–Filter''' (''Infinite Impulse Response'') erster Ordnung. Es ist das zeitdiskrete Analogon zum RC–Tiefpass. :* Ausgehend von $h_0= 1$ gilt $h_1= h_0 \cdot b_0= 0.9$, $h_2= h_1 \cdot b_0= b_0^2=0.81$, $h_3= h_2 \cdot b_0= b_0^3=0.729$, usw. ⇒ $〈h_ν〉$ reicht bis ins Unendliche. :* Impulsantwort $h(t) = {\rm e}^{-t/T}$ mit $T$: Schnittpunkt $($Tangente bei $t=0$, Abszisse$)$ ⇒ $h_\nu= h(\nu \cdot T_{\rm A}) = {\rm e}^{-\nu/(T/T_{\rm A})}$ mit $T/T_{\rm A} = 1/(h_0-h_1)= 10$. :* Also: Die Werte der zeitkontinuierlichen unterscheiden sich von der zeitdiskreten Impulsantwort. Hierfür ergeben sich die Werte $1.0, \ 0.9048,\ 0.8187$ ... <div class="bluebox"> '''(4)''' Die Filtereinstellung wird beibehalten. Interpretieren Sie die Sprungantwort $〈h_ν〉$ und die Rechteckantwort $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$. Welcher Wert ergibt sich für $H(f=0)$? <div style="clear:both;"> </div> </div> :* Die Sprungantwort ist das Integral über die Impulsantwort: $\sigma(t) = T \cdot (1-{\rm e}^{-t/T}) ]$ ⇒ $\sigma_\nu= 10 \cdot (1-{\rm e}^{-\nu/10})$ ⇒ $\sigma_0=1$, $\sigma_1=1.9$, $\sigma_2=2.71$, ... :* Für große $\nu$–Werte tendiert die (zeitdiskrete) Sprungantwort gegen den Gleichsignalübertragungsfaktor $H(f=0)= 10$: $\sigma_{40}=9.867$, $\sigma_{50}=9.954$, $\sigma_\infty=10$. :* Die Rechteckantwort $〈\rho_ν^{(2, 8)}〉$ steigt mit einer Verzögerung von $2$ in gleicher Weise an wie $〈\sigma_ν〉$. Im Bereich $\nu \ge 8$ fallen die $\rho_ν$– Werte exponentiell ab. <div class="bluebox"> '''(5)''' Wir betrachten weiterhin das Filter mit $a_0=1$, $b_1=0.9$, $a_1=a_2= b_2=0$. Wie lautet die Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ für die Eingangsfolge $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ -0.5〉$? <br> ''Hinweis'': Die Aufgabe lässt sich ebenfalls mit diesem Programm lösen, obwohl die hier betrachtete Konstellation nicht direkt einstellbar ist. <div style="clear:both;"> </div> </div> :* Man behilft sich, indem man den Koeffizienten $a_2=-0.5$ setzt und dafür die Eingangsfolge auf $〈x_ν〉= 〈1,\ 0,\ 0,\ \text{ ...}〉$ ⇒ „Diracfunktion” reduziert. :* Die tatsächliche Impulsantwort dieses Filters $($mit $a_2=0)$ wurde in Aufgabe '''(3)''' ermittelt: $h_0= 1$, $h_1= 0.9$, $h_2= 0.81$, $h_3= 0.729$, $h_4= 0.646$. :* Die Lösung dieser Aufgabe lautet somit: $y_0 = h_0= 1$, $y_1= h_1= 0.9$, $y_2 =h_2-h_0/2= 0.31$, $y_3 =h_3-h_1/2= 0.279$, $y_4 =h_4-h_2/2= 0.251$. :* Vorsicht: Sprungantwort und Rechteckantwort beziehen sich nun auf das fiktive Filter $($mit $a_2=-0.5)$ und nicht auf das eigentliche Filter $($mit $a_2=0)$. <div class="bluebox"> '''(6)''' Betrachten und interpretieren Sie die Impulsanwort und die Sprungantwort für die Filterkoeffizienten $a_0=1$, $b_1=1$, $a_1=a_2= b_2=0$. <div style="clear:both;"> </div> </div> :* '''Das System ist instabil''': Eine zeitdiskrete Diracfunktion am Eingang $($zur Zeit $t=0)$ bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs gleicher Höhe. :* Eine zeitdiskrete Sprungfunktion am Eingang bewirkt im Ausgangsignal unendlich viele Diracs mit monoton ansteigenden Gewichten (bis ins Unendliche). <div class="bluebox"> '''(7)''' Betrachten und interpretieren Sie Impulsanwort und Sprungantwort für die Filterkoeffizienten $a_0=1$, $b_1=-1$, $a_1=a_2= b_2=0$. <div style="clear:both;"> </div> </div> :* Im Gegensatz zur Aufgabe '''(6)''' sind hier die Gewichte der Impulsantwort $〈h_ν〉$ nicht konstant gleich $1$, sondern alternierend $\pm 1$. Das System ist ebenfalls instabil. :* Bei der Sprunganwort $〈\sigma_ν〉$ wechseln sich dagegen die Gewichte alternierend zwischen $0$ $($bei geradem $\nu)$ und $1$ $($bei ungeradem $\nu)$ ab. <div class="bluebox"> '''(8)''' Wir betrachten den „Sinusgenerator”: $a_1=0.5$, $b_1=\sqrt{3}= 1.732$, $b_2=-1.$ Vergleichen Sie die Impulsantwort mit den berechneten Werten in $\text{Beispiel 4}$. <br> Wie beinflussen die Parameter $a_1$ und $b_1$ die Periodendauer $T_0/T_{\rm A}$ und die Amplitude $A$ der Sinusfunktion? <div style="clear:both;"> </div> </div> :* $〈x_ν〉=〈1, 0, 0, \text{...}〉$ ⇒ $〈y_ν〉=〈0, 0.5, 0.866, 1, 0.866, 0.5, 0, -0.5, -0.866, -1, -0.866, -0.5, 0, \text{...}〉$ ⇒ '''Sinus''', Periode $T_0/T_{\rm A}= 12$, Amplitude $1$. :* Die Vergrößerung/Verkleinerung von $b_1$ führt zur größeren/kleineren Periodendauer $T_0/T_{\rm A}$ und zur größeren/kleineren Amplitude $A$. Es muss $b_1 < 2$ gelten. :* $a_1$ beinflusst nur die Amplitude, nicht die Periodendauer. Für $a_1$ gibt es keine Wertebegrenzumg. Bei negativem $a_1$ ergibt sich die Minus–Sinusfunktion. :* '''Gibt es hier keine Diskrepanz zu h(t) wertkontinuierlich ???''' <div class="bluebox"> '''(9)''' Die Grundeinstellung bleibt erhalten. Mit welchen $a_1$ und $b_1$ ergibt sich eine Sinusfunktion mit Periodendauer $T_0/T_{\rm A}=16$ und Amplitude $A=1$? <div style="clear:both;"> </div> </div> :* Durch Probieren erreicht man mit $b_1= 1.8478$ tatsächlich die Periodendauer $T_0/T_{\rm A}=16.$ Allerdings erhöht sich dadurch die Amplitude auf $A=1.307$. :* Die Anpassung des Parameters $a_1= 0.5/1.307=0.3826$ führt dann zur gewünschten Amplitude $A=1$. :* Oder man kann das auch wie im Beispiel berechnen: $b_1 = 2 \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}\cdot{T_{\rm A}}/{T_0 }})= 2 \cdot \cos (\pi/8)=1.8478$, $a_1 = \sin (\pi/8)=0.3827$. <div class="bluebox"> '''(10)''' Wir gehen weiter vom „Sinusgenerator” aus. Welche Modifikationen muss man vornehmen, um damit einen „Cosinus” zu generieren? <div style="clear:both;"> </div> </div> :* Mit $a_1=0.5$, $b_1=\sqrt{3}= 1.732$, $b_2=-1$ sowie $〈x_ν〉=〈1, 1, 1, \text{...}〉$ ist die Ausgangsfolge $〈y_ν〉$ das zeitdiskrete Analogon der Sprungantwort $\sigma(t)$.
- Es fehlen noch einige Statements
Zur Handhabung des Applets
Über die Autoren
Dieses interaktive Berechnungstool wurde am Lehrstuhl für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München konzipiert und realisiert.
- Die erste Version wurde 2005 von Bettina Hirner im Rahmen ihrer Diplomarbeit mit „FlashMX–Actionscript” erstellt (Betreuer: Günter Söder).
- 2020 wurde das Programm von Andre Schulz (Bachelorarbeit LB, Betreuer: Benedikt Leible und Tasnád Kernetzky ) unter „HTML5” neu gestaltet.
