Gleichsignal - Grenzfall eines periodischen Signals
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Zeitsignaldarstellung
Zunächst die Definition:
Ein Gleichsignal ist ein deterministisches Signal, dessen Augenblickswerte für alle Zeiten $t$ von $-\infty$ bis $+\infty$ konstant sind. Ein solches Signal ist der Grenzfall einer harmonischen Schwingung, wobei die Periodendauer $T_{0}$ einen unendlich großen Wert besitzt.
Entsprechend dieser Definition reicht ein Gleichsignal immer von $t = -\infty$ bis $t = +\infty$. Wird das Signal erst zum Zeitpunkt $t = 0$ eingeschaltet, so liegt kein Gleichsignal vor.
Ein Gleichsignal kann niemals Träger von Information im nachrichtentechnischen Sinne sein, doch können Nachrichtensignale durchaus einen "Gleichsignalanteil" besitzen. Alle im Folgenden für das Gleichsignal getroffenen Aussagen gelten in gleicher Weise auch für einen solchen Gleichsignalanteil.
Für den Gleichsignalanteil $A_{0}$ eines beliebigen Signals $x(t)$ gilt:
$A_0 = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\,\frac{1}{T_{\rm M}}\cdot\int^{T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\,{\rm d} t. $
$T_{M}$ ist die Messdauer, die stets möglichst groß (im Grenzfall unendlich) gewählt werden sollte und hier symmetrisch zum Zeitpunkt $t=0$ angenommen ist.
Die Grafik zeigt ein stochastisches Signal $x_{t}$ mit dem Gleichsignalanteil $A_{0}$ = 2 V.
Im Sinne der Statistik entspricht $A_{0}$ dem linearen Mittelwert.
Spektraldarstellung
Betrachten wir nun den Sachverhalt im Frequenzbereich. Aus der Zeitfunktion ist ersichtlich, dass diese – spektral gesehen – nur eine einzige (physikalische) Frequenz beinhaltet, nämlich die Frequenz $f=0$. Dieses Ergebnis soll nun mathematisch hergeleitet werden. Im Vorgriff auf das Kapitel 3: Fouriertransformation wird bereits hier der Zusammenhang zwischen dem Zeitsignal $x(t)$ und dem korrespondierenden Spektrum $X(f)$ angegeben:
$X(f)= \hspace{0.05cm}\int_{-\infty} ^{{+}\infty} x(t) \, \cdot \, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$
Man bezeichnet die so berechnete Spektralfunktion $X(f)$ nach dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Fourier als die Fouriertransformierte von $x(t)$ und verwendet als Kurzbezeichnung für diesen Funktionalzusammenhang
$X(f)\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\,x(t).$
Beschreibt $x(t)$ beispielsweise einen Spannungsverlauf, so hat $X(f)$ die Einheit „V/Hz“. Wenden wir diese Transformationsgleichung auf das Gleichsignal $x(t)=A_{0}$ an, so erhält man:
$X(f)= A_0 \cdot \int_{-\infty} ^{+\hspace{0.01cm}\infty}\rm e \it ^{-\rm {j 2\pi} \it ft} \,{\rm d}t.$
Dieses Integral divergiert für $f=0$, das heißt, es liefert einen unendlich großen Wert (Integration über den konstanten Wert 1). Für jede andere Frequenz $f$ nimmt das Integral jedoch den Wert 0 an; der dazugehörige Beweis ist allerdings nicht ganz trivial (Herleitung siehe nächste Seite). Die gesuchte Spektralfunktion $X(f)$ wird kompakt durch folgende Gleichung ausgedrückt:
$X(f) = A_0 \, \cdot \, \rm \delta(\it f).$
Man bezeichnet $\delta(f)$ als Diracfunktion, auch bekannt unter dem Namen „Distribution”. $\delta(f)$ ist eine mathematisch komplizierte Funktion; die Herleitung finden Sie auf der nächsten Seite.
Die Grafik zeigt nochmals den Funktionalzusammenhang zwischen einem Gleichsignal $x(t)=A_{0}$ und der dazugehörigen Spektralfunktion $X(f)=A_{0} \cdot \delta(f)$. Die Diracfunktion bei der Frequenz $f=0$ ist durch einen Pfeil dargestellt, der mit dem Gewicht $A_{0}$ versehen ist.
Diracfunktion im Frequenzbereich
Die für die funktionale Beschreibung von nachrichtentechnischen Systemen äußerst wichtige Diracfunktion weist folgende Eigenschaften auf:
- Die Diracfunktion ist unendlich schmal, das heißt, es ist $\delta(f)=0$ für $f \neq 0$.
- Die Diracfunktion $\delta(f)$ ist bei der Frequenz $f = 0$ unendlich hoch.
- Die Impulsfläche der Diracfunktion ergibt einen endlichen Wert, nämlich 1: $\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta( f)\,{\rm d}f =1.$
Aus dieser letzten Eigenschaft folgt, dass $\delta(f)$ die Einheit $\text{Hz}^{-1} = \text{s}$besitzt.
Zur mathematischen Herleitung obiger Eigenschaften gehen wir von einem dimensionslosen Gleichsignal aus. Um die Konvergenz des Fourierintegrals zu erzwingen, wird das nicht energiebegrenzte Signal $x(t)$ mit einer beidseitig abfallenden Exponentialfunktion multipliziert. Die Grafik zeigt das Signal $x(t)=1$ und das energiebegrenzte Signal
$x_{\varepsilon} (t) = \rm e^{\it -\varepsilon \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm} | \hspace{0.01cm} t \hspace{0.01cm} |}{.}$
Hierbei gelte $\epsilon > 0$. Im Grenzübergang $\epsilon \to 0$ geht $x_{\epsilon}(t)$ in $(t)=1$ über.
Zur Spektraldarstellung kommt man durch Anwendung des vorne angegebenen Fourierintegrals:
$X_\varepsilon (f)=\int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{\varepsilon{t}}\, {\cdot}\, {\rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t \hspace{0.2cm}+ \hspace{0.2cm} \int_{0}^{+\infty} {\rm e}^{-\varepsilon t} \,{\cdot}\, { \rm e}^{-\rm j 2\pi \it ft} \,{\rm d}t.$
Nach Integration und Zusammenfassen dieser beiden Anteile erhalten wir die rein reelle Spektralfunktion des energiebegrenzten Signals $x_{\epsilon(t)}$ :
$X_\varepsilon (f)=\frac{1}{\varepsilon -\rm j \cdot 2\pi \it f} + \frac{1}{\varepsilon+\rm j \cdot 2\pi \it f} = \frac{2\varepsilon}{\varepsilon^2 + (\rm 2\pi \it f) \rm ^2} \, .$
Der Grenzübergang für $\epsilon \to 0$ liefert die Diracfunktion mit Gewicht 1:
$\lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm} \to \hspace{0.05cm} 0}X_\varepsilon (f)= \delta(f).$
Die Fläche unter der Kurve ist unabhängig vom Parameter $\epsilon$ gleich 1. Je kleiner ε gewählt wird, um so schmaler und höher wird die Funktion, wie das nachfolgende Lernvideo zeigt: Herleitung und Visualisierung der Diracfunktion (Dauer 2:50)
