Stochastic System Theory

# ÜBERBLICK ZUM FÜNFTEN HAUPTKAPITEL #

Dieses Kapitel beschreibt den Einfluss eines Filters auf die Autokorrelationsfunktion (AKF) und das Leistungsdichtespektrum (LDS) stochastischer Signale.

Im Einzelnen werden behandelt:

die Berechnung von AKF und LDS am Filterausgang (Stochastische Systemtheorie ),
die Struktur und die Darstellung Digitaler Filter (nichrekursiv und rekursiv),
die Dimensionierung der Filterkoeffizienten für eine vorgegebene AKF,
die Bedeutung des Matched-Filters für Nachrichtensysteme (SNR-Maximierung),
die Eigenschaften des Wiener-Kolmogorow-Filters zur Signalrekonstruktion.

Weitere Informationen zum Thema „Filterung stochastischer Signale” sowie Aufgaben, Simulationen und Programmierübungen finden Sie im

Kapitel 10: Filterung stochastischer Signale (Programm fil)
Kapitel 11: Optimale Filter (Programm ofi)

des Praktikums „Simulationsmethoden in der Nachrichtentechnik”. Diese (ehemalige) LNT-Lehrveranstaltung an der TU München basiert auf

dem Lehrsoftwarepaket LNTsim ⇒ Link verweist auf die ZIP-Version des Programms, und
der Praktikumsanleitung - Teil B ⇒ Link verweist auf die PDF-Version mit Kapitel 10: Seite 229-248 und Kapitel 11: Seite 249-270.

Problemstellung

Filtereinfluss auf Spektrum und Leistungsdichtespektrum (LDS)

Wir betrachten wie im Buch Lineare zeitinvariante Systeme die rechts skizzierte Anordnung, wobei das System

sowohl durch die Impulsantwort $h(t)$
als auch durch seinen Frequenzgang $H(f)$

eindeutig beschrieben ist. Der Zusammenhang zwischen diesen Beschreibungsgrößen im Zeit– und Frequenzbereich ist durch die Fouriertransformation gegeben.
Legt man an den Eingang das Signal $x(t)$ an und bezeichnet das Ausgangssignal mit $y(t)$ , so liefert die klassische Systemtheorie folgende Aussagen:

Das Ausgangssignal $y(t)$ ergibt sich aus der Faltung zwischen dem Eingangssignal $x(t)$ und der Impulsantwort $h(t)$ . Die folgende Gleichung gilt für deterministische und stochastische Signale gleichermaßen:

$y(t) = x(t) \ast h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)\cdot h ( t - \tau) \,\,{\rm d}\tau.$

Bei deterministischen Signalen geht man meist den Umweg über die Spektralfunktionen. Das Spektrum $X(f)$ ist die Fouriertransformierte von $x(t)$ . Die Multiplikation mit dem Frequenzgang $H(f)$ führt zum Ausgangsspektrum $Y(f)$ . Daraus lässt sich das Signal $y(t)$ durch Fourierrücktransformation gewinnen.
Bei stochastischen Signalen versagt diese Vorgehensweise, da dann die Zeitfunktionen $x(t)$ und $y(t)$ nicht für alle Zeiten von $–∞$ bis $+∞$ vorhersagbar sind und somit die dazugehörigen Amplitudenspektren $X(f)$ und $Y(f)$ gar nicht existieren.
In diesem Fall muss auf die im letzten Kapitel definierten Leistungsdichtespektren übergegangen werden.

Amplituden- und Leistungsdichtespektrum

Wir betrachten einen ergodischen Zufallsprozess $\{x(t)\}$ , dessen Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ als bekannt vorausgesetzt wird. Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ ist dann über die Fouriertransformation ebenfalls eindeutig bestimmt und es gelten die folgenden Aussagen:

Zur AKF– und LDS–Berechnung eines Zufallssignals

Das Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ kann – ebenso wie die Autokorrelationsfunktion $φ_x(τ)$ – für jede einzelne Musterfunktion des stationären und ergodischen Zufallsprozesses $\{x(t)\}$ angegeben werden, auch wenn der spezifische Verlauf von $x(t)$ explizit nicht bekannt ist.
Das Amplitudenspektrum $X(f)$ ist dagegen undefiniert, da bei Kenntnis der Spektralfunktion $X(f)$ auch die gesamte Zeitfunktion $x(t)$ von $–∞$ bis $+∞$ über die Fourierrücktransformation bekannt sein müsste, was bei einem stochastischen Signal eindeutig nicht der Fall sein kann.
Ist entsprechend der nebenstehenden Skizze ein Zeitausschnitt der endlichen Zeitdauer $T_{\rm M}$ bekannt, so kann für diesen natürlich wieder die Fouriertransformation angewendet werden.

$\text{Satz:}$ Zwischen dem Leistungsdichtespektrum ${\it Φ}_x(f)$ des zeitlich unendlich ausgedehnten Zufallssignals $x(t)$ und dem Amplitudenspektrum $X_{\rm T}(f)$ des begrenzten Zeitausschnittes $x_{\rm T}(t)$ besteht der folgende Zusammenhang:

${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert ^2.$

$\text{Beweis:}$ Vorne wurde die Autokorrelationsfunktion eines ergodischen Prozesses mit der Musterfunktion $x(t)$ wie folgt angegeben:

${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$

Es ist zulässig, die zeitlich unbegrenzte Funktion $x(t)$ durch die auf den Zeitbereich $-T_{\rm M}/2$ bis $+T_{\rm M}/2$ begrenzte Funktion $x_{\rm T}(t)$ zu ersetzen. $x_{\rm T}(t)$ korrespondiert mit dem Spektrum $X_{\rm T}(f)$ , und man erhält durch Anwendung des ersten Fourierintegrals und des Verschiebungssatzes:

${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f ( t + \tau) } \hspace{0.1cm} \rm d \it f \hspace{0.1cm} \rm d \it t.$

Nach Aufspalten des Exponenten und Vertauschen von Zeit- und Frequenzintegral ergibt sich:

${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}X_{\rm T}(f)\cdot \left[ \int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x_{\rm T}(t)\cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f t } \hspace{0.1cm} \rm d \it t \right] \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$

Das innere Integral beschreibt das konjugiert–komplexe Spektrum $X_{\rm T}^{\star}(f)$ . Daraus folgt weiter:

${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \int^{+\infty}_{-\infty}\vert X_{\rm T}(f)\vert^2 \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f.$

Ein Vergleich mit dem bei Ergodizität stets gültigen Theorem von Wiener und Chintchin,

${ {\it \varphi}_x(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}{\it \Phi}_x(f) \cdot {\rm e}^{ {\rm j}2 \pi f \tau} \hspace{0.1cm} \rm d \it f ,$

zeigt die Gültigkeit der oben genannten Beziehung:

${ {\it \Phi}_x(f)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot \vert X_{\rm T}(f)\vert^2.$

q.e.d.

Leistungsdichtespektrum des Filterausgangssignals

Kombiniert man die in den beiden letzten Abschnitten gemachten Aussagen, so kommt man zu folgendem wichtigen Ergebnis:

$\text{Satz:}$ Das Leistungsdichtespektrum (LDS) am Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems mit dem Frequenzgang $H(f)$ ergibt sich als das Produkt aus dem Eingangs–LDS ${\it Φ}_x(f)$ und der „Leistungsübertragungsfunktion” $\vert H(f)\vert ^2$ .

${ {\it \Phi}_y(f)} = { {\it \Phi}_x(f)} \cdot \vert H(f)\vert ^2.$

$\text{Beweis:}$ Ausgegangen wird von den drei bereits vorher hergeleiteten Beziehungen:

${ {\it \Phi}_x(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} \vert X_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm} { {\it \Phi}_y(f)} =\hspace{-0.1cm} \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.01cm} \frac{1}{ T_{\rm M} }\hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm}\vert Y_{\rm T}(f)\vert^2, \hspace{0.5cm} Y_{\rm T}(f) = X_{\rm T}(f) \hspace{-0.05cm}\cdot\hspace{-0.05cm} H(f).$

Setzt man diese Gleichungen ineinander ein, so erhält man das obige Ergebnis.

q.e.d.

Das folgende Beispiel verdeutlicht den Zusammenhang bei Weißem Rauschen.

Filtereinfluss im Frequenzbereich

$\text{Beispiel 1:}$ Am Eingang eines Gauß-Tiefpasses mit dem Frequenzgang

$H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}$

liegt weißes Rauschen $x(t)$ mit der Rauschleistungsdichte ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$ an ⇒ zweiseitige Darstellung. Dann gilt für das Leistungsdichtespektrum des Ausgangssignals:

${ {\it \Phi}_y(f)} = \frac {N_0}{2} \cdot {\rm e}^{- 2 \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}.$

Die Grafik zeigt die Signale und Leistungsdichtespektren am Filtereingang und –ausgang.

Anmerkungen:

Das Signal $x(t)$ kann – streng genommen – gar nicht gezeichnet werden, da es eine unendlich große Leistung besitzt ⇒ Integral über ${\it Φ}_x(f)$ von $-\infty$ bis $+\infty$ .
Das Ausgangssignal $y(t)$ ist niederfrequenter als $x(t)$ und besitzt eine endliche Leistung entsprechend dem Integral über ${\it Φ}_y(f)$ .
Bei einseitiger Darstellung würde (nur) für $f>0$ gelten: ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0$ . Die Aussagen (1) und (2) würden auch hier in gleicher Weise gelten.

Autokorrelationsfunktion des Filterausgangssignals

Das berechnete Leistungsdichtespektrum (LDS) kann auch wie folgt geschrieben werden:

${{\it \Phi}_y(f)} = {{\it \Phi}_x(f)} \cdot H(f) \cdot H^{\star}(f)$

$\text{Satz:}$ Für die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) erhält man dann entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation und durch Anwendung des Faltungssatzes:

${ {\it \varphi}_y(\tau)} = { {\it \varphi}_x(\tau)} \ast h(\tau)\ast h(- \tau).$

Beim Übergang vom Spektral– in den Zeitbereich ist zu beachten:

Einzusetzen sind jeweils die Fourierrücktransformierten, nämlich

${{\it \varphi}_y(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_y(f)}, \hspace{0.5cm}{{\it \varphi}_x(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{{\it \Phi}_x(f)}, \hspace{0.5cm}{h(\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{H(f)}, \hspace{0.5cm}{h(-\tau)} \circ\hspace{0.05cm}\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\bullet\,{H^{\star}(f)}$

Zudem wird aus jeder Multiplikation eine Faltungsoperation.

Filtereinfluss im Zeitbereich

$\text{Beispiel 2:}$ Wir betrachten nochmals das gleiche Szenario wie im $\text{Beispiel 1}$ , aber diesmal im Zeitbereich:

weißes Rauschen ${ {\it \Phi}_x(f)} =N_0/2$ ,

gaußförmiges Filter: $H(f) = {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(f/\Delta f)^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} h(t) = \Delta f \cdot {\rm e}^{- \pi \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(\Delta f \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}t)^2}.$

Man erkennt aus dieser Darstellung:

Die AKF des Eingangssignals ist nun eine Diracfunktion mit dem Gewicht $N_0/2$ .
Durch zweimalige Faltung mit der (hier ebenfalls gaußförmigen) Impulsantwort $h(t)$ bzw. $h(–t)$ erhält man die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals.
Auch die AKF $φ_y(τ)$ des Ausgangssignals ist also gaußförmig.
Der AKF–Wert bei $τ = 0$ ist identisch mit der Fläche des Leistungsdichtespektrums ${\it Φ}_y(f)$ und kennzeichnet die Signalleistung (Varianz) $σ_y^2$ .
Dagegen ergibt die Fläche unter $φ_y(τ)$ den LDS-Wert ${\it Φ}_y(f = \rm 0)$ , also $N_0/2$ .

Kreuzkorrelationsfunktion zwischen Eingangs- und Ausgangssignal

Zur Berechnung der Kreuzkorrelationsfunktion

Wir betrachten wieder ein Filter mit dem Frequenzgang $H(f)$ und der Impulsantwort $h(t)$ . Weiter gilt:

Das stochastische Eingangssignal $x(t)$ ist eine Musterfunktion des ergodischen Zufallsprozesses $\{x(t)\}$ .
Die zugehörige Autokorrelationsfunktion (AKF) am Filtereingang ist somit $φ_x(τ)$ , während das Leistungsdichtespektrum (LDS) mit ${\it Φ}_x(f)$ bezeichnet wird.
Die entsprechenden Beschreibungsgrößen des ergodischen Zufallsprozesses $\{y(t)\}$ am Filterausgang sind die Musterfunktion $y(t)$ , die Autokorrelationsfunktion $φ_y(τ)$ sowie das Leitsungsdichtespektrum ${\it Φ}_y(f)$ .

$\text{Satz:}$ Für die Kreuzkorrelationsfunktion (KKF) zwischen dem Eingangs– und dem Ausgangssignal gilt:

${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$

Hierbei bezeichnet $h(τ)$ die Impulsantwort des Filters $($ mit der Zeitvariablen $τ$ anstelle von $t)$ und ${ {\it \varphi}_{x}(\tau)}$ die AKF des Eingangssignals.

$\text{Beweis:}$ Allgemein gilt für die Kreuzkorrelationsfunktion zwischen zwei Signalen $x(t)$ und $y(t)$ :

${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot y(t + \tau)\hspace{0.1cm} \rm d \it t.$

Mit der allgemeingültigen Beziehung $y(t) = h(t) \ast x(t)$ und der formalen Integrationsvariablen $θ$ lässt sich hierfür auch schreiben:

${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm}\frac{1}{ T_{\rm M} }\cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm}{\rm d}\theta\hspace{0.1cm}{\rm d} \it t.$

Durch Vertauschen der beiden Integrale und Hereinziehen der Grenzwertbildung in das Integral erhält man:

${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty} h(\theta) \cdot \left[ \lim_{T_{\rm M}\to\infty}\hspace{0.2cm} \frac{1}{ T_{\rm M} } \cdot\int^{+T_{\rm M}/2}_{-T_{\rm M}/2}x(t)\cdot x(t + \tau - \theta)\hspace{0.1cm} \hspace{0.1cm} {\rm d} t \right]{\rm d}\theta.$

Der Ausdruck in den eckigen Klammern ergibt den AKF-Wert am Eingang zum Zeitpunkt $τ - θ$ :

${ {\it \varphi}_{xy}(\tau)} = \int^{+\infty}_{-\infty}h(\theta) \cdot \varphi_x(\tau - \theta)\hspace{0.1cm}\hspace{0.1cm} {\rm d}\theta = h(\tau)\ast { {\it \varphi}_x(\tau)} .$

Das verbleibende Integral beschreibt aber die Faltungsoperation in ausführlicher Schreibweise.

q.e.d.

$\text{Fazit:}$ Im Frequenzbereich lautet die entsprechende Gleichung:

${ {\it \Phi}_{xy}(f)} = H(f)\cdot{ {\it \Phi}_x(f)} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f) = \frac{ {\it \Phi}_{xy}(f)}{ {\it \Phi}_{x}(f)}.$

Diese Gleichung zeigt, dass der Filterfrequenzgang $H(f)$ aus einer Messung mit stochastischer Anregung vollständig – also sowohl der Betrag als auch die Phase – berechnet werden kann, wenn folgende Beschreibungsgrößen ermittelt werden:

die statistischen Kenngrößen am Eingang, entweder die AKF $φ_x(τ)$ oder das LDS ${\it Φ}_x(f)$ ,
sowie die Kreuzkorrelationsfunktion $φ_{xy}(τ)$ bzw. deren Fouriertransformierte ${\it Φ}_{xy}(f)$ .