Exercise 4.8Z: AWGN Channel

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Modell des AWGN–Kanals

Wir betrachten hier ein analoges Nachrichtensignal  $s(t)$, dessen Amplitudenwerte gaußverteilt sind.

• Der Effektivwert  $\sigma_s$  dieses mittelwertfreien Signals beträgt  $1 \hspace{0.05cm} \rm V$.
• Diese Größe bezeichnet man auch als die  Streuung.

Bei der Übertragung wird  $s(t)$  von einem Störsignal  $n(t)$  additiv überlagert, das ebenso wie  $s(t)$  als gaußverteilt und mittelwertfrei angenommen werden kann.

• Der Effektivwert (die Streuung) des Störsignals sei allgemein  $\sigma_n$.
• Es wird angenommen, dass zwischen Nutzsignal  $s(t)$  und Störsignal  $n(t)$  keine statistischen Abhängigkeiten bestehen.

Man bezeichnet eine solche Konstellation als  Additive White Gaussian Noise  (AWGN) und verwendet als Qualitätskriterium für das Empfangssignal  $r(t)$  das Signal-zu-Stör-Leistungsverhältnis  (Signal-to-Noise-Ratio):

$${\rm SNR} = {\sigma_s^2}/{\sigma_n^2}.$$

Hinweise:

• Die Aufgabe gehört zum Kapitel  Linearkombinationen von Zufallsgrößen.
• Bezug genommen wird auch auf das Kapitel  Zweidimensionale Gaußsche Zufallsgrößen.

Fragebogen

1

Geben Sie die WDF $f_r(r)$  des Empfangssignals  $r(t)$  allgemein an.  Wie groß ist der Effektivwert  $\sigma_r$, wenn  $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$  beträgt?

$\sigma_r \ = \ $ $ \ \rm V$

2

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{sr}$  zwischen den beiden Signalen  $s(t)$  und  $r(t)$.  Welcher Wert ergibt sich für  $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$?

$\rho_{sr} \ = \ $

3

Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten  $\rho_{sr}$  abhängig vom SNR des AWGN-Kanals.  Leiten Sie eine Näherung für großes SNR ab.
Welcher Koeffizient ergibt sich für $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$?

$\rho_{sr} \ = \ $

Musterlösung

Solution

(1)  Es gilt  $r(t) = s(t)+n(t)$.  Somit kann $f_r(r)$  aus der Faltung der beiden Dichtefunktionen $f_s(s)$  und $f_n(n)$  berechnet werden.

• Da beide Signale gaußverteilt sind, liefert die Faltung ebenfalls eine Gaußfunktion:

$$f_r(r)= \frac {1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sigma_r} \cdot {\rm e}^{-r^2/(2 \sigma_r^2)}.$$

• Die Varianzen von  $s(t)$  und  $n(t)$  addieren sich.  Deshalb erhält man mit  $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$  und  $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$:

$$\sigma_r = \sqrt{\sigma_s^2 + \sigma_n^2} =\sqrt{{(\rm 1\hspace{0.1cm}V)^2} + {(\rm 0.75\hspace{0.1cm}V)^2}}\hspace{0.15cm}\underline{ = {\rm 1.25\hspace{0.1cm}V}}.$$

(2)  Für den Korrelationskoeffizienten gilt mit dem gemeinsamen Moment  $m_{sr}$:

$$\rho_{sr } = \frac{m_{sr }}{\sigma_s \cdot \sigma_r}.$$

• Hierbei ist berücksichtigt, dass  $s(t)$  und auch  $r(t)$  mittelwertfrei sind, so dass  $\mu_{sr} =m_{sr}$  gilt.
• Da  $s(t)$  und  $n(t)$  als statistisch unabhängig voneinander und damit als unkorreliert vorausgesetzt wurden, gilt weiter:

$$m_{sr} = {\rm E}\big[s(t) \cdot r(t)\big] = {\rm E}\big[s^2(t)\big] + {\rm E}\big[s(t) \cdot n(t)\big] ={\rm E}\big[s^2(t)\big] = \sigma_s^2.$$

$$\rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{sr } = \frac{\sigma_s}{ \sigma_r} = \sqrt{\frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}} = \left (1+ {\sigma_n^2}/{\sigma_s^2}\right)^{-1/2}.$$

• Mit  $\sigma_s =1 \hspace{0.05cm} \rm V$,  $\sigma_n =0.75 \hspace{0.05cm} \rm V$  und  $\sigma_r =1.25 \hspace{0.05cm} \rm V$  erhält man  $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.8}$.

(3)  Der in der letzten Teilaufgabe berechnete Ausdruck kann mit der Abkürzung  ${\rm SNR} =\sigma_s^2/\sigma_n^2$  wie folgt dargestellt werden:

$$\rho_{sr } = \rm \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{SNR}}} \approx \frac{1}{ {1 + \frac{1}{2 \cdot SNR}}} \approx 1 - \frac{1}{2 \cdot SNR}.$$

• Der Signal-zu-Stör-Abstand  $10 \cdot {\rm lg \ SNR = 30 \ dB}$  führt zum absoluten Wert  $\rm SNR = 1000$.
• In die obige Gleichung eingesetzt ergibt dies näherungsweise einen Korrelationskoeffizienten von  $\rho_{sr }\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.9995}$.