Exercise 3.2Z: Optimum Cutoff Frequency for Gaussian Low-pass

Augendiagramme –
ohne und mit Rauschen

Wie in Aufgabe 3.2 wird ein binäres bipolares redundanzfreies Binärsystem mit gaußförmigen Empfangsfilter $H_{\rm G}(f)$ betrachtet. Dessen Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ ist so zu bestimmen, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis

$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right)$$

maximal und damit die ungünsigste Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimal wird. Die so optimierte Grenzfrequenz $f_{\rm G, \ opt}$ führt meist auch zur minimalen mittleren Symbolfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S, \ min}$.

In obiger Gleichung sind folgende Systemgrößen verwendet:

$\sigma_d^2$ ist die Detektionsrauschleistung. Bei gaußförmigen Empfangsfilter gilt:

$$\sigma_d^2 = \frac{N_0}{2} \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} |H_{\rm G}(f)|^2 \,{\rm d} f = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G}}{\sqrt{2}}\hspace{0.05cm}.$$

$\ddot{o}(T_{\rm D})$ gibt die Augenöffnung an. Der Detektionszeitpunkt wird stets zu $T_{\rm D} = 0$ angenommen.
Bei einem gaußförmigen Empfangsfilter kann die vertikale Augenöffnung $\ddot{o}(T_{\rm D})$ allein durch die Amplitude $s_0$ des Sendegrundimpulses (obere Begrenzungslinie im Augendiagramm ohne Rauschen) und den Maximalwert $g_0$ des Detektionsgrundimpulses ausgedrückt werden.
Die Impulsamplitude $g_0$ ist dabei wie folgt zu berechnen:

$$g_0 = g_d(t = 0) = s_0 \cdot \big [1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\big]\hspace{0.05cm}.$$

Die Grafik zeigt die Augendiagramme der gesuchten Konfiguration mit optimaler Grenzfrequenz.

Im oberen Diagramm sind die Rauschstörungen nicht berücksichtigt.
Das untere Diagramm gilt dagegen mit AWGN–Rauschen für $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB$.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Fehlerwahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung von Impulsinterferenzen.
Verwenden Sie zur numerischen Auswertung der Q–Funktion das Interaktionsmodul Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen.

Fragebogen

	Die Berechnung der Augenöffnung erfolgt ohne Rauschen.
	Bei gaußförmigem Empfangsfilter gilt $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = s_0 \ – \ g_0$.
	Bei gaußförmigem Impulsformer gilt $\ddot{o}(T_{\rm D})/2 = 2 \cdot g_0 \ – \ s_0$.

$f_{\rm G, \ min} \cdot T \ = \ $

$f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $

$\ \rm dB$

$f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U}\ = \ $

$\ \rm dB$

$f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $

$\ \rm dB$

	Die Optimierung hinsichtlich $p_{\rm U}$ $($bzw. $\rho_{\rm U})$ ergibt $f_{\rm G, \ opt} \cdot T \approx 0.8$.
	Dieses Optimierungsergebnis ist unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$.
	Die Optimierung hinsichtlich $p_{\rm S}$ führt zum exakt gleichen Ergebnis.

$\ddot{o}(T_{\rm D})/s_0 \ = \ $

$\sigma_d/s_0 \ = \ $

$10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ = \ $

$\ \rm dB$

$p_{\rm U}\ = \ $

$\ \cdot 10^{\rm -5}$

Musterlösung

Solution

(1) Richtig sind der erste und der dritte Lösungsvorschlag:

Bei der Berechnung der vertikalen Augenöffnung darf der Rauschanteil nicht berücksichtigt werden. Dieser wird durch den Rauscheffektivwert $\sigma_d$ erfasst.
Würde man die Augenöffnung aus dem unteren Augendiagramm entnehmen, so würde die Rauschkomponente zweimal erfasst.
Die obere Begrenzung der inneren Augenlinie ergibt sich für die Symbolfolge „ $\text{ ...} \, \ -\hspace{-0.1cm}1 \ -\hspace{-0.1cm}1, +1, -\hspace{-0.1cm}1, \ -\hspace{-0.1cm}1, \text{ ...} $ ” .
Die lange „$-1$”–Folge würde zum Wert $-s_0$ führen.
Dagegen führt die „worst–case”–Folge zur Augenlinie $-s_0 + 2 \cdot g_d(t)$.
Zum Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt somit mit der Entscheiderschwelle $E = 0$:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2}= 2 \cdot g_0 - s_0 \hspace{0.05cm}.$$

(2) Für die halbe vertikale Augenöffnung gilt:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ 2} \ = \ 2 \cdot g_0 - s_0 = 2 \cdot s_0 \cdot\left [ 1- 2 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] - s_0 = s_0 \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right] \hspace{0.05cm}.$$

Ein geschlossenes Auge ergibt sich gemäß dem angegebenen Interaktionsmodul für

$${\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right) \ge 0.25 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T< 0.675\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} f_{\rm G, min} \cdot T \approx \frac{0.675}{2.5}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.27} \hspace{0.05cm}.$$

(3) Mit den Gleichungen auf der Angabenseite und den bisherigen Berechnungen ergibt sich

$\rho_{\rm U}$ als Funktion der (normierten) Grenzfrequenz

$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} = \frac{s_0^2 \cdot\left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]^2}{ N_0 \cdot f_{\rm G} / \sqrt{2}}$$

Mit der Angabe $E_{\rm B}/N_0 = 10 \ \rm dB $ erhält man folgende Bestimmungsgleichung:

$$10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = 10 \, {\rm dB}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm B}}/{ N_0} = {s_0^2 \cdot T}/{ N_0} = 10$$

$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_{\rm U} = 10 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{ \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T \right)\right]^2}{ f_{\rm G} \cdot T}\hspace{0.05cm}.$$

Die Abbildung zeigt diesen Funktionsverlauf in Abhängigkeit der (normierten) Grenzfrequenz. Für die vorgegebenen Grenzfrequenzen gilt:

$f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 12.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.04 \ \rm dB},$
$f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 14.7 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.66 \ \rm dB},$
$f_{\rm G} \cdot T = 1.0\text{:} \hspace{0.4cm} \rho_{\rm U} \approx 13.5 \Rightarrow 10 \cdot \rm lg \ \rho_{\rm U} \ \underline {\approx \ 11.30 \ \rm dB}.$

Aus obiger Grafik erkennt man auch die minimale Grenzfrequenz ⇒ Teilaufgabe (2).

(4) Richtig sind die beiden ersten Lösungsvorschläge:

Die Gültigkeit der ersten Aussage ergibt sich aus obiger Grafik.
Da in der obigen Gleichung für $\rho_{\rm U}$ das Verhältnis $E_{\rm B}/N_0$ nur als Faktor auftritt, führt die Optimierung (Nullsetzen der Ableitung) unabhängig von $E_{\rm B}/N_0$ stets zum gleichen Ergebnis.
Die optimale Grenzfrequenz hinsichtlich $p_{\rm U}$ ist näherungsweise auch hinsichtlich $p_{\rm S}$ optimal, aber nicht exakt.
Für sehr große Werte von $E_{\rm B}/N_0$ (kleines Rauschen) stimmt diese Näherung sehr gut und es gilt $p_{\rm S} \ \approx \ p_{\rm U}/4$.
Dagegen ergibt sich bei großem Rauschen, beispielsweise $10 \cdot {\rm lg} \ E_{\rm B}/N_0 = 0 \ \rm dB$ eine kleinere optimale Grenzfrequenz, wenn die Optimierung auf $p_{\rm S}$ basiert:

$f_{\rm G} \cdot T = 0.8\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.113, p_{\rm S} = 0.102,$

$f_{\rm G} \cdot T = 0.6\text{:} \hspace{0.4cm} p_{\rm U} = 0.129, p_{\rm S} = 0.094.$

Die Fehlerwahrscheinlichkeiten sind dann aber so groß, dass diese Ergebnisse nicht praxisrelevant sind.

(5) Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) ⇒ $E_{\rm B}/N_0 = 10$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.8$ gilt:

$${\ddot{o}(T_{\rm D})}/{ s_0} = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot {\rm Q} \left( \sqrt{2\pi} \cdot 0.8 \right)\right] = 2 \cdot \left [ 1- 4 \cdot 0.022\right]\hspace{0.15cm}\underline { = 1.824} \hspace{0.05cm},$$

$${\sigma_d^2}/{ s_0^2} = \frac{N_0 \cdot f_{\rm G} }{\sqrt{2}\cdot s_0^2}= \frac{N_0 }{s_0^2 \cdot T} \cdot \frac{f_{\rm G} \cdot T}{\sqrt{2}} = 0.1 \cdot \frac{0.8}{\sqrt{2}} \approx 0.0566 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\sigma_d}/{ s_0}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 0.238} \hspace{0.05cm},$$

$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})]^2}{ 4 \cdot \sigma_d^2} = \frac{1.824^2}{ 4 \cdot 0.0566}\approx 14.7 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} 10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm} \rho_{\rm U}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 11.66\, {\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

$$p_{\rm U} = {\rm Q} \left( \sqrt{\rho_{\rm U}} \right) = {\rm Q} \left( \sqrt{14.7} \right) \hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.4 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm}.$$