Exercise 4.12Z: 4-QAM Systems again

Phasendiagramme bei 4–QAM, ideal und mit Degradationen

Die Grafik $\rm (A)$ zeigt das Phasendiagramm der 4–QAM nach dem Matched–Filter, wobei eine bei AWGN–Rauschen unter der Nebenbedingung „Spitzenwertbegrenzung” optimale Realisierungsform gewählt wurde:

rechteckförmiger Sendegrundimpuls der Symboldauer $T$,
rechteckförmige Impulsantwort des Matched-Filters gleicher Breite $T$.

Alle hier dargestellten Phasendiagramme – sowohl $\rm (A)$ als auch $\rm (B)$ und $\rm (C)$ – beziehen sich ausschließlich auf die Detektionszeitpunkte. Die Übergänge zwischen den einzelnen zeitdiskreten Punkten sind in diesem Phasendiagrammen also nicht eingezeichnet.

Es liegt hier ein AWGN–Kanal mit $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ vor.
Entsprechend gilt für die Bitfehlerwahrscheinlichkeit des zunächst betrachteten Systems $\rm (A)$ :

$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right )\hspace{0.05cm}.$$

Die Phasendiagramme $\rm (B)$ und $\rm (C)$ gehören zu zwei Systemen, bei denen die 4–QAM nicht optimal realisiert wurde. Auch bei diesen ist jeweils AWGN–Rauschen mit $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ vorausgesetzt.

Hinweise:

Die Aufgabe gehört zum Kapitel Quadratur–Amplitudenmodulation.
Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger im Buch „Digitalsignalübertragung”.
Die Ursachen und Auswirkungen von Impulsinterferenzen werden im gleichnamigen Abschnitt des Buches „Digitalsignalübertragung” erläutert.
Die Kreuze in den Grafiken markieren mögliche Punkte in den Phasendiagrammen, wenn kein AWGN–Rauschen vorhanden wäre.
Die Punktwolken aufgrund des AWGN–Rauschens haben alle gleichen Durchmesser. Die rote Wolke erscheint nur deshalb etwas kleiner als die anderen, da „Rot” auf „Schwarz” schlechter zu erkennen ist.

Als eine hinreichend gute Näherung für das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral können Sie verwenden:

$${\rm erfc}(x) \approx \frac{1}{\sqrt{\pi}\cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2}.$$

Fragebogen

$p_{\rm B} \ = \ $

$\ \cdot 10^{-5}$

	Es besteht ein Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger.
	Das Empfangsfilter führt zu Impulsinterferenzen.
	Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System $\rm (A)$.

	Es besteht ein Phasenversatz zwischen Sender und Empfänger.
	Das Empfangsfilter führt zu Impulsinterferenzen.
	Es ergibt sich keine Degradation gegenüber System $\rm (A)$.

	Alle drei Systeme weisen die gleiche Bitfehlerwahrscheinlichkeit.
	Die Fehlerwahrscheinlichkeit von System $\rm (A)$ ist am kleinsten.
	Das System $\rm (B)$ besitzt eine größere Bitfehlerwahrscheinlichkeit als das System $\rm (C)$.

Musterlösung

Solution

(1) Aus der Angabe $10 · \lg E_{\rm B}/N_0 = 9 \ \rm dB$ folgt ${E_{\rm B}}/{N_0} = 10^{0.9}\approx 7.95 \hspace{0.05cm}.$

Mit der angegebenen Näherung gilt weiter:

$$p_{\rm B} = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) \approx \frac{1}{2 \cdot\sqrt{\pi \cdot{E_{\rm B}}/{N_0}} } \cdot {\rm e}^{-{E_{\rm B}}/{N_0}} = {1}/{2 \cdot\sqrt{7.95 \cdot \pi }} \cdot {\rm e}^{-7.95}\approx \hspace{0.15cm}\underline {3.5 \cdot 10^{-5}\hspace{0.05cm}}.$$

Der exakte Wert $p_{\rm B}\hspace{0.15cm}\underline { = 3.3 · 10^{–5}}$ ist nur geringfügig kleiner.

(2) Richtig ist der Lösungsvorschlag 1:

Aufgrund eines Phasenversatzes um $Δϕ_{\rm T} = 30^\circ$ wurde das Phasendiagramm gedreht, was zu einer Degradation führt.
Die beiden Komponenten $\rm I$ und $\rm Q$ beeinflussen sich zwar gegenseitig, es gibt aber keine Impulsinterferenzen wie bei System $\rm (C)$.
Ein „Nyquistsystem” führt niemals zu Impulsinterferenzen.

(3) Richtig ist der Lösungsvorschlag 2:

Insbesondere an den jeweils neun Kreuzen in jedem Quadranten des Phasendiagramms $\rm (C)$, die den rauschfreien Fall markieren, erkennt man den Einfluss von Impulsinterferenzen.
Anstelle des optimalen Empfangsfilters für rechteckförmigem Sendegrundimpuls $g_s(t)$ ⇒ rechteckförmige Impulsantwort $h_{\rm E}(t)$ wurde hier ein Gaußtiefpass mit der (normierten) Grenzfrequenz $f_{\rm G} · T = 0.6$ verwendet.
Dieser bewirkt Impulsinterferenzen. Auch ohne Rauschen gibt es in jedem Quadranten neun Kreuze, die auf je einen Vor– und Nachläufer pro Komponente hinweisen.

(4) Richtig sind die Lösungsvorschläge 2 und 3:

Die Systeme $\rm (B)$ und $\rm (C)$ sind nicht optimal. Daraus ist bereits ersichtlich, dass die Aussage 1 nicht zutrifft.
Dagegen ist die Aussage 2 richtig. Jedes 4–QAM–System, das dem Matched–Filter–Prinzip folgt und zusätzlich die erste Nyquistbedingung erfüllt, besitzt die vorne angegebene Fehlerwahrscheinlichkeit

$$p_{\rm B} = {\rm Q}\left ( \sqrt{{2 \cdot E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ) = {1}/{2}\cdot {\rm erfc}\left ( \sqrt{{E_{\rm B}}/{N_0 }} \hspace{0.1cm}\right ).$$

Die so genannte „Wurzel–Nyquist–Konfiguration”, die zum Beispiel in der Aufgabe 4.12 behandelt wurde, hat somit die genau gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie das System $\rm (A)$ und zu den Detektionszeitpunkten auch das gleiche Phasendiagramm. Die Übergänge zwischen den einzelnen Punkten sind jedoch unterschiedlich.
Auch die dritte Aussage ist zutreffend. Man erkennt bereits aus dem Phasendiagramm von System $\rm (B)$ Fehlentscheidungen und zwar immer dann, wenn Punkte farblich nicht zu den Quadranten passen.

Die Fehlerwahrscheinlichkeiten von System $\rm (B)$ und System $\rm (C)$ werden im Buch „Digitalsignalübertragung” hergeleitet. Die Ergebnisse einer Systemsimulation bestätigen die obigen Aussagen:

System $\rm (A)$: $p_{\rm B} ≈ 3.3 · 10^{–5}$ (siehe Teilaufgabe 1),
System $\rm (B)$: $p_{\rm B} ≈ 3.5 · 10^{–2}$,
System $\rm (C)$: $p_{\rm B} ≈ 2.4 · 10^{–4}$.